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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Progressão aritmética

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sabe-se que (x + 2y, 3x - 5y, 8x - 2y, 11x - 7y + 2z) é uma progressão aritmética com o último termo igual a -127. Então, o produto xyz é igual a

  1. A
    -60.
  2. B
    -30.
  3. C
    0.
  4. D
    30.
  5. E
    60.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Numa PA, cada termo (exceto os extremos) é a média dos vizinhos, e a diferença entre termos consecutivos é constante. Chamando os termos de a_1, a_2, a_3, a_4:

  1. Razão pelos dois primeiros: r = a_2 - a_1 = (3x-5y)-(x+2y) = 2x-7y.
  2. Razão pelo segundo e terceiro: a_3 - a_2 = (8x-2y)-(3x-5y) = 5x+3y.
  3. Igualando: 2x-7y = 5x+3y \Rightarrow -3x = 10y \Rightarrow x = -\dfrac{10y}{3}.

Precisamos de mais uma equação. Como a_3 - a_2 = a_4 - a_3, temos a_4 = 2a_3 - a_2, mas isso envolve z. Então usamos o último termo:

a_4 = -127, ou seja, 11x-7y+2z=-127.

A razão também vale a_3-a_2=5x+3y, e a_4 = a_3 + r:

11x-7y+2z = (8x-2y) + (5x+3y) = 13x+y.

Portanto 13x + y = -127.

  1. Substituindo x=-\dfrac{10y}{3}: -\dfrac{130y}{3}+y = -127 \Rightarrow -\dfrac{127y}{3} = -127 \Rightarrow y=3.
  2. Então x=-10.
  3. Voltando: 11x-7y+2z = -110-21+2z = -127 \Rightarrow 2z = 4 \Rightarrow z=2.

Produto: xyz = (-10)(3)(2) = -60.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem erra o sinal de x e obtém +60.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BResultado de erro de conta ao determinar x, y ou z; não satisfaz x=-10, y=3, z=2.
  • CSó seria zero se alguma das variáveis fosse nula, o que não ocorre.
  • DValor com sinal trocado e módulo errado, sem relação com os valores obtidos.
  • ETem o módulo correto, mas ignora o sinal negativo de x.

Assuntos: Progressão aritmética, Sistemas lineares.

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Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗