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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard Gabarito corrigido

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

As raízes x_1, x_2 e x_3 do polinômio p(x) = 16 + ax - (4 + \sqrt{2})x^2 + x^3 estão relacionadas pelas equações:

x_1 + 2x_2 + \frac{x_3}{2} = 2 \quad \text{e} \quad x_1 - 2x_2 - \sqrt{2}x_3 = 0

Então, o coeficiente a é igual a

  1. A
    2(1 - \sqrt{2}).
  2. B
    \sqrt{2} - 4.
  3. C
    2(2 + \sqrt{2}).
  4. D
    4 + \sqrt{2}.
  5. E
    4(\sqrt{2} - 1).
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Resolução comentada

Pelas relações de Girard para x^3 - (4+\sqrt{2})x^2 + ax + 16:

  1. x_1+x_2+x_3 = 4+\sqrt{2}
  2. x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = a
  3. x_1x_2x_3 = -16

Temos três equações lineares nas raízes: a soma e as duas dadas.

Subtraindo a soma da primeira dada: (x_1+2x_2+\frac{x_3}{2}) - (x_1+x_2+x_3) = 2-(4+\sqrt2), ou seja, x_2 - \frac{x_3}{2} = -2-\sqrt2, logo x_2 = \frac{x_3}{2} - 2 - \sqrt2.

Subtraindo a soma da segunda: (x_1-2x_2-\sqrt2x_3)-(x_1+x_2+x_3)= -(4+\sqrt2), ou seja, -3x_2-(\sqrt2+1)x_3 = -4-\sqrt2.

Substituindo x_2: -\frac{3x_3}{2}+6+3\sqrt2-(\sqrt2+1)x_3 = -4-\sqrt2.

Assim -\left(\frac{5}{2}+\sqrt2\right)x_3 = -10-4\sqrt2, então x_3 = \frac{10+4\sqrt2}{\frac{5}{2}+\sqrt2} = \frac{2(10+4\sqrt2)}{5+2\sqrt2} = 4.

Então x_2 = 2-2-\sqrt2 = -\sqrt2 e x_1 = 4+\sqrt2-4+\sqrt2 = 2\sqrt2.

Verificação do produto: 2\sqrt2\cdot(-\sqrt2)\cdot4 = -16 ✓.

Agora a = x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = -4 + 8\sqrt2 - 4\sqrt2 = 4\sqrt2-4 = 4(\sqrt2-1).

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com as raízes 2\sqrt2, -\sqrt2 e 4; erro de conta na soma dos produtos dois a dois.
  • BNão resulta da soma x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 com as raízes corretas.
  • CTroca sinais dos produtos, por exemplo usando -x_2 ou o sinal de a errado.
  • DConfunde a com a soma das raízes, 4+\sqrt2.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Sistemas lineares.

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Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗