Correção FUVEST 2027 · 1ª faseAcompanhe a resolução de cada questão da 1ª fase, ao vivoAcompanhar
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam r_1, r_2 e r_3 números reais tais que r_1 - r_2 e r_1 + r_2 + r_3 são racionais. Das afirmações:

I \cdot Se r_1 é racional ou r_2 é racional, então r_3 é racional;

II \cdot Se r_3 é racional, então r_1 + r_2 é racional;

III \cdot Se r_3 é racional, então r_1 e r_2 são racionais,

é (são) sempre verdadeira(s)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas III.
  4. D
    apenas I e II.
  5. E
    I, II e III.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Sabemos que a = r_1 - r_2 e b = r_1 + r_2 + r_3 são racionais. Vamos testar cada afirmação.

I. Suponha r_1 racional. Como r_1 - r_2 é racional, r_2 = r_1 - a também é racional. Se for r_2 o racional, então r_1 = a + r_2 também é. Nos dois casos, r_1 e r_2 são racionais. Então r_1 + r_2 é racional e r_3 = b - (r_1 + r_2) é racional. Verdadeira.

II. Se r_3 é racional, então r_1 + r_2 = b - r_3 é a diferença de dois racionais, logo racional. Verdadeira.

III. Se r_3 é racional, sabemos pela II que r_1 + r_2 é racional, e por hipótese r_1 - r_2 é racional. Somando e subtraindo:

r_1 = \frac{(r_1+r_2)+(r_1-r_2)}{2}, \quad r_2 = \frac{(r_1+r_2)-(r_1-r_2)}{2}

Ambos são racionais, pois operações entre racionais resultam em racional. Verdadeira.

As três afirmações valem sempre.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aignora que II e III também decorrem de r_1+r_2=b-r_3 ser racional.
  • Bnão percebe que, com r_1+r_2 e r_1-r_2 racionais, a III também vale.
  • Cexclui I e II, que são verdadeiras.
  • Dconsidera a III falsa, mas r_1 e r_2 saem da soma e da diferença racionais.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Conjuntos e conjuntos numéricos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 5 no caderno Matemática do ITA 2012

Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗