Questão 12 (Matemática) do ITA 2012

Question

Dados os pontos A = (0, 0), B = (2, 0) e C = (1, 1), o lugar geométrico dos pontos que se encontram a uma distância d = 2 da bissetriz interna, por A, do triângulo ABC é um par de retas definidas por

A
r_{1,2} : \sqrt{2}y - x \pm 2\sqrt{4 + \sqrt{2}} = 0.
B
r_{1,2} : \dfrac{\sqrt{2}}{2}y - x \pm 2\sqrt{10 + \sqrt{2}} = 0.
C
r_{1,2} : 2y - x \pm 2\sqrt{10 + \sqrt{2}} = 0.
D
r_{1,2} : (\sqrt{2} + 1)y - x \pm \sqrt{2 + 4\sqrt{2}} = 0.
E
r_{1,2} : (\sqrt{2} + 1)y - x \pm 2\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} = 0.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Dados os pontos A = (0, 0), B = (2, 0) e C = (1, 1), o lugar geométrico dos pontos que se encontram a uma distância d = 2 da bissetriz interna, por A, do triângulo ABC é um par de retas definidas por

A
r_{1,2} : \sqrt{2}y - x \pm 2\sqrt{4 + \sqrt{2}} = 0.
B
r_{1,2} : \dfrac{\sqrt{2}}{2}y - x \pm 2\sqrt{10 + \sqrt{2}} = 0.
C
r_{1,2} : 2y - x \pm 2\sqrt{10 + \sqrt{2}} = 0.
D
r_{1,2} : (\sqrt{2} + 1)y - x \pm \sqrt{2 + 4\sqrt{2}} = 0.
E
r_{1,2} : (\sqrt{2} + 1)y - x \pm 2\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} = 0.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

O lugar geométrico dos pontos a uma distância fixa de uma reta é um par de retas paralelas a ela, uma de cada lado. Então basta achar a bissetriz.

Os lados do triângulo são AB=2, AC=\sqrt2 e BC=\sqrt2. Como AC^2+BC^2=AB^2, o ângulo em C é reto, e o triângulo é isósceles. Logo o ângulo em A mede 45^\circ.
A bissetriz interna por A forma 22{,}5^\circ com o eixo x. Seu coeficiente angular é \tg 22{,}5^\circ=\sqrt2-1, e a reta é (\sqrt2-1)x-y=0.
Distância de um ponto (x,y) a essa reta:

\frac{|(\sqrt2-1)x-y|}{\sqrt{(\sqrt2-1)^2+1}}=2

Como (\sqrt2-1)^2+1=4-2\sqrt2, temos

(\sqrt2-1)x-y=\pm2\sqrt{4-2\sqrt2}
Para comparar com as alternativas, multiplicamos tudo por (\sqrt2+1), lembrando que (\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=1:

x-(\sqrt2+1)y=\pm2(\sqrt2+1)\sqrt{4-2\sqrt2}
Colocando (\sqrt2+1) dentro da raiz:

(\sqrt2+1)^2(4-2\sqrt2)=(3+2\sqrt2)(4-2\sqrt2)=12-6\sqrt2+8\sqrt2-8=4+2\sqrt2
Portanto as retas são

(\sqrt2+1)y-x\pm2\sqrt{4+2\sqrt2}=0

Como o sinal é \pm, a troca de sinal geral não altera o par de retas.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AOs coeficientes não correspondem à bissetriz de 22{,}5^\circ; \sqrt2 y - x não é uma reta paralela a ela.
BO coeficiente de y e o radicando 10 não vêm da bissetriz correta.
CUsa a inclinação 1/2, que não é a da bissetriz, e o radicando 10 está errado.
DTem o coeficiente certo, mas o termo constante está errado: esquece de multiplicar por (\sqrt2+1) o termo da distância.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 12 no caderno Matemática do ITA 2012

Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗