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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Conjuntos e conjuntos numéricos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações:

I \cdot (A \setminus B^C) \setminus C^C = A \cap (B \cup C);

II \cdot (A \setminus B^C) \setminus C = A \cup (B \cap C^C)^C;

III \cdot B^C \cup C^C = (B \cap C)^C,

é (são) sempre verdadeira(s) apenas

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    I e III.
  5. E
    II e III.
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Resolução comentada

Use a definição X\setminus Y = X\cap Y^C e as leis de De Morgan.

Afirmação I. A\setminus B^C = A\cap (B^C)^C = A\cap B. Depois, (A\cap B)\setminus C^C = A\cap B\cap C. O lado direito é A\cap(B\cup C), que é maior em geral. Por exemplo, tome A=B=\{1\} e C=\varnothing: o lado esquerdo é \varnothing e o direito é \{1\}. Logo, I é falsa.

Afirmação II. (A\setminus B^C)\setminus C = A\cap B\cap C^C, que está contido em A. Já (B\cap C^C)^C = B^C\cup C, então o lado direito é A\cup B^C\cup C, que contém A e, em geral, é bem maior. Exemplo: A=\varnothing, B=\varnothing, U=\{1\}. O lado esquerdo é \varnothing. O lado direito é B^C\cup C=\{1\}. Logo, II é falsa.

Afirmação III. É a lei de De Morgan: (B\cap C)^C = B^C\cup C^C. Logo, III é sempre verdadeira.

Só a III é sempre verdadeira.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA I é falsa: o lado esquerdo é A\cap B\cap C, menor que A\cap(B\cup C).
  • BA II é falsa: o lado esquerdo está contido em A, mas o direito contém A e mais elementos.
  • DInclui a I, que é falsa, pois confunde A\cap B\cap C com A\cap(B\cup C).
  • EInclui a II, que é falsa, pois o lado direito é A\cup B^C\cup C.

Assunto: Conjuntos e conjuntos numéricos.

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Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗