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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

A área do quadrilátero definido pelos eixos coordenados e as retas r : x - 3y + 3 = 0 e s : 3x + y - 21 = 0, em unidades de área, é igual a

  1. A
    \dfrac{19}{2}.
  2. B
    10.
  3. C
    \dfrac{25}{2}.
  4. D
    \dfrac{27}{2}.
  5. E
    \dfrac{29}{2}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Primeiro, ache os pontos onde cada reta corta os eixos e onde elas se cruzam.

Reta r: x-3y+3=0:

  • com o eixo y (x=0): y=1, ponto (0,1);
  • com o eixo x (y=0): x=-3, que fica fora do primeiro quadrante e não faz parte do quadrilátero.

Reta s: 3x+y-21=0:

  • com o eixo x (y=0): x=7, ponto (7,0);
  • com o eixo y: y=21, também fora da região.

Intersecção de r e s: de r, x=3y-3. Substituindo em s: 3(3y-3)+y=21 \Rightarrow 10y=30 \Rightarrow y=3 e x=6. Ponto P(6,3).

O quadrilátero tem vértices O(0,0), A(7,0), P(6,3) e B(0,1).

Área pela fórmula de Gauss (sapateado), na ordem O, A, P, B:

  1. Produtos descendo: 0\cdot0+7\cdot3+6\cdot1+0\cdot0=27.
  2. Produtos subindo: 0\cdot7+0\cdot6+3\cdot0+1\cdot0=0.
  3. Área: \dfrac{|27-0|}{2}=\dfrac{27}{2}.

Conferindo por decomposição: triângulo OAP tem área \frac{7\cdot3}{2}=\frac{21}{2}; triângulo OPB tem base OB=1 e altura 6 (abscissa de P), área 3. Soma: \frac{21}{2}+3=\frac{27}{2}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem fundamento no cálculo; não corresponde à soma correta das áreas dos dois triângulos.
  • BResultado inteiro que ignora parte da região, por erro na decomposição ou na fórmula.
  • CAparece se o triângulo OPB for calculado com área 2 em vez de 3.
  • EExcede a área real, por usar vértices ou alturas incorretos.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗