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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Progressão aritmética

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre \overline{AB}. Considere as áreas do quadrado ABCD, do trapézio BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, uma progressão aritmética cuja soma é 200\text{ cm}^2, a medida do segmento \overline{AE}, em \text{cm}, é igual a

  1. A
    \frac{10}{3}.
  2. B
    5.
  3. C
    \frac{20}{3}.
  4. D
    \frac{25}{3}.
  5. E
    10.
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Resolução comentada

Seja \ell o lado do quadrado e x = AE. As três áreas formam uma PA, nesta ordem:

  • quadrado: \ell^2
  • trapézio BEDC: o quadrado menos o triângulo ADE
  • triângulo ADE: \dfrac{x\ell}{2}

Numa PA de três termos, o termo do meio é a média dos extremos, e a soma é três vezes o termo do meio.

  1. Soma: 3\cdot(\text{termo do meio}) = 200, então o trapézio tem área \dfrac{200}{3}.

  2. Como o trapézio é o quadrado menos o triângulo, os três termos satisfazem \ell^2 = T + t, em que T é a área do trapézio e t a do triângulo.

  3. Pela PA: T = \dfrac{\ell^2 + t}{2}. Substituindo \ell^2 = T + t, temos 2T = T + t + t, logo T = 2t.

  4. Com T = \dfrac{200}{3}: t = \dfrac{100}{3} e \ell^2 = T + t = 100, então \ell = 10.

  5. Verificando a soma: 100 + \dfrac{200}{3} + \dfrac{100}{3} = 200. Confere.

  6. Área do triângulo: \dfrac{x\cdot 10}{2} = \dfrac{100}{3}, então 5x = \dfrac{100}{3} e x = \dfrac{20}{3}.

Portanto AE = \dfrac{20}{3}\ \text{cm}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com as condições da PA; não satisfaz 5x = 100/3.
  • BDaria triângulo de área 25, que não satisfaz a PA de soma 200.
  • DDaria triângulo de área 125/3, diferente de 100/3.
  • EIgualaria AE ao lado, fazendo o triângulo valer 50 e o trapézio 50, o que não forma a PA.

Assuntos: Progressão aritmética, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗