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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos \overline{AB} e \overline{BC} medem 8\ cm e 6\ cm, respectivamente. Se D é um ponto sobre \overline{AB} e o triângulo ADC é isósceles, a medida do segmento \overline{AD}, em cm, é igual a

  1. A
    \frac{3}{4}.
  2. B
    \frac{15}{6}.
  3. C
    \frac{15}{4}.
  4. D
    \frac{25}{4}.
  5. E
    \frac{25}{2}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Triângulo retângulo em B, com AB=8 e BC=6. Pela hipotenusa: AC=\sqrt{8^2+6^2}=10.

D está sobre \overline{AB} e ADC é isósceles. Os três casos possíveis são:

  • AD=AC=10: impossível, pois AD\le AB=8.
  • AC=DC: então D seria o simétrico de A em relação a B (o triângulo ACD seria isósceles com altura CB), ficando fora do segmento. Impossível.
  • DA=DC=x: é o caso que serve.

No último caso, DB=8-x. No triângulo retângulo DBC:

  1. DC^2=DB^2+BC^2
  2. x^2=(8-x)^2+36
  3. x^2=64-16x+x^2+36
  4. 16x=100
  5. x=\dfrac{100}{16}=\dfrac{25}{4}

Conferência: \frac{25}{4}=6{,}25<8, então D realmente está em \overline{AB}, e DB=1{,}75, com DC^2=3{,}0625+36=39{,}0625=6{,}25^2. Confere.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com as condições; não satisfaz x^2=(8-x)^2+36.
  • B\frac{15}{6}=2{,}5 não resolve a equação do triângulo DBC.
  • C\frac{15}{4} não satisfaz 16x=100; provável erro de conta.
  • E\frac{25}{2}=12{,}5 é maior que AB=8, então D não estaria sobre o segmento.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗