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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Num triângulo ABC o lado \overline{AB} mede 2\text{ cm}, a altura relativa ao lado \overline{AB} mede 1\text{ cm}, o ângulo A\hat{B}C mede 135^\circ e M é o ponto médio de \overline{AB}. Então a medida de B\hat{A}C + B\hat{M}C, em radianos, é igual a

  1. A
    \frac{1}{5}\pi.
  2. B
    \frac{1}{4}\pi.
  3. C
    \frac{1}{3}\pi.
  4. D
    \frac{3}{8}\pi.
  5. E
    \frac{2}{5}\pi.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Coloque o triângulo num sistema de coordenadas: A=(0,0), B=(2,0) e M=(1,0). A altura relativa a \overline{AB} mede 1, então C tem ordenada \pm 1. Como o ângulo em B mede 135^\circ (obtuso), C fica além de B, do lado oposto a A. Tomando C=(2+h,1), o ângulo externo em B vale 45^\circ, e o cateto horizontal é igual à altura: h=1. Logo C=(3,1).

Agora calculamos as tangentes dos ângulos pedidos:

  1. Em A: o vetor \overrightarrow{AC}=(3,1) forma com \overline{AB} o ângulo \alpha com \tg\alpha=\frac{1}{3}.
  2. Em M: o vetor \overrightarrow{MC}=(2,1) forma com \overline{MB} o ângulo \beta=B\hat{M}C com \tg\beta=\frac{1}{2}.

Soma dos ângulos:

\tg(\alpha+\beta)=\frac{\frac13+\frac12}{1-\frac13\cdot\frac12}=\frac{\frac56}{\frac56}=1

Como \alpha e \beta são agudos e pequenos (cada um com tangente menor que 1, logo menor que 45^\circ), a soma está entre 0 e 90^\circ. Então \alpha+\beta=45^\circ=\frac{\pi}{4}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com \tg(\alpha+\beta)=1; não corresponde a nenhum cálculo correto.
  • CCorresponderia a 60^\circ, cuja tangente é \sqrt3, e não 1.
  • DCorresponderia a 67{,}5^\circ, incompatível com tangente igual a 1.
  • ECorresponderia a 72^\circ, incompatível com tangente igual a 1.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗