Questão 14 (Matemática) do ITA 2011

Question

Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro dos minutos varre um ângulo cuja medida, em radianos, é igual a

A
\dfrac{23}{11}\pi.
B
\dfrac{13}{6}\pi.
C
\dfrac{24}{11}\pi.
D
\dfrac{25}{11}\pi.
E
\dfrac{7}{3}\pi.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais	\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros	i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais	\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais	\|z\| : módulo do número z \in \mathbb{C}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}	[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}	]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro dos minutos varre um ângulo cuja medida, em radianos, é igual a

A
\dfrac{23}{11}\pi.
B
\dfrac{13}{6}\pi.
C
\dfrac{24}{11}\pi.
D
\dfrac{25}{11}\pi.
E
\dfrac{7}{3}\pi.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Compare as velocidades angulares dos ponteiros.

Ponteiro dos minutos: dá uma volta (2\pi) em 60 min, então \omega_m = \dfrac{2\pi}{60} = \dfrac{\pi}{30} rad/min.
Ponteiro das horas: dá uma volta em 720 min, então \omega_h = \dfrac{2\pi}{720} = \dfrac{\pi}{360} rad/min.

Depois de uma superposição, a próxima acontece quando o ponteiro dos minutos ganha uma volta completa (2\pi) sobre o das horas. Seja t o tempo entre as duas superposições:

(\omega_m - \omega_h)\,t = 2\pi
\omega_m - \omega_h = \dfrac{\pi}{30} - \dfrac{\pi}{360} = \dfrac{12\pi - \pi}{360} = \dfrac{11\pi}{360}
t = \dfrac{2\pi \cdot 360}{11\pi} = \dfrac{720}{11}\ \text{min}

O ângulo varrido pelo ponteiro dos minutos nesse intervalo é:

\theta = \omega_m \, t = \dfrac{\pi}{30}\cdot\dfrac{720}{11} = \dfrac{24\pi}{11}

Confirmação: o ponteiro das horas anda \dfrac{\pi}{360}\cdot\dfrac{720}{11} = \dfrac{2\pi}{11}, e \dfrac{24\pi}{11} - \dfrac{2\pi}{11} = 2\pi, uma volta a mais, como esperado.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa que mais engana é a de 2\pi não estar entre as opções: o aluno pode achar que são 2\pi (uma volta), mas o ponteiro das horas também avança, então o dos minutos varre mais que 2\pi.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASubtrai 2\pi/11 em vez de somar: \frac{23}{11}\pi não corresponde a nenhum cálculo coerente com as velocidades.
BValor sem relação com a diferença de velocidades; não fecha uma volta relativa.
DSoma 3\pi/11 em vez de 2\pi/11 ao ângulo de 2\pi; erro no ângulo do ponteiro das horas.
EValor sem fundamento, não satisfaz a condição de ganho de uma volta.

Assunto: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Questão 14 no caderno Matemática do ITA 2011

Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗