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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Equação da circunferência

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam m e n inteiros tais que \frac{m}{n} = -\frac{2}{3} e a equação 36x^2 + 36y^2 + mx + ny - 23 = 0 representa uma circunferência de raio r = 1\ cm e centro C localizado no segundo quadrante. Se A e B são os pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área do triângulo ABC, em cm^2, é igual a

  1. A
    \frac{8\sqrt{2}}{3}.
  2. B
    \frac{4\sqrt{2}}{3}.
  3. C
    \frac{2\sqrt{2}}{3}.
  4. D
    \frac{2\sqrt{2}}{9}.
  5. E
    \frac{\sqrt{2}}{9}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Divida a equação por 36: x^2+y^2+\frac{m}{36}x+\frac{n}{36}y-\frac{23}{36}=0.

O centro é C\left(-\frac{m}{72},-\frac{n}{72}\right). Completando os quadrados, o raio satisfaz

r^2=\frac{m^2+n^2}{72^2}+\frac{23}{36}=1.
  1. Daí \frac{m^2+n^2}{5184}=\frac{13}{36}, logo m^2+n^2=1872.
  2. Como \frac{m}{n}=-\frac{2}{3}, escreva m=2k e n=-3k. Então 4k^2+9k^2=13k^2=1872, e k^2=144, ou seja, k=\pm12.
  3. O centro precisa estar no 2º quadrante (x_C<0, y_C>0), então m>0 e n<0. Isso dá k=12, m=24 e n=-36.
  4. O centro é C\left(-\frac{24}{72},\frac{36}{72}\right)=\left(-\frac13,\frac12\right).

No eixo Oy fazemos x=0 na equação da circunferência: (x-x_C)^2+(y-y_C)^2=1 fica

\frac19+\left(y-\frac12\right)^2=1\Rightarrow \left(y-\frac12\right)^2=\frac89\Rightarrow y=\frac12\pm\frac{2\sqrt2}{3}.

A corda AB mede \frac{4\sqrt2}{3}. A altura do triângulo ABC é a distância de C ao eixo Oy, igual a \frac13.

\text{Área}=\frac12\cdot\frac{4\sqrt2}{3}\cdot\frac13=\frac{2\sqrt2}{9}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa valores muito grandes, sem relação com base \frac{4\sqrt2}{3} e altura \frac13.
  • BToma só a medida da corda AB, sem calcular a área do triângulo.
  • CEsquece de multiplicar pela altura \frac13 e usa só metade da corda.
  • EErra a conta da base ou da altura, obtendo metade da área correta.

Assuntos: Equação da circunferência, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗