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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Com respeito à equação polinomial 2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2 = 0 é correto afirmar que

  1. A
    todas as raízes estão em \mathbb{Q}.
  2. B
    uma única raiz está em \mathbb{Z} e as demais estão em \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}.
  3. C
    duas raízes estão em \mathbb{Q} e as demais têm parte imaginária não-nula.
  4. D
    não é divisível por 2x - 1.
  5. E
    uma única raiz está em \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} e pelo menos uma das demais está em \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}.
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Resolução comentada

Use o teorema das raízes racionais: uma raiz racional p/q tem p divisor de -2 e q divisor de 2. Os candidatos são \pm1,\pm2,\pm\frac12.

Teste em P(x)=2x^4-3x^3-3x^2+6x-2:

  1. P(1)=2-3-3+6-2=0, então x=1 é raiz.
  2. P(\frac12)=\frac{2}{16}-\frac{3}{8}-\frac{3}{4}+3-2=\frac18-\frac38-\frac68+1=-\frac88+1=0, então x=\frac12 é raiz.

Como x=1 e x=\frac12 são raízes, P(x) é divisível por (x-1)(2x-1)=2x^2-3x+1.

Divisão: P(x)=(2x^2-3x+1)(x^2+a). Comparando o termo independente: a=-2. Conferindo: (2x^2-3x+1)(x^2-2)=2x^4-3x^3+x^2-4x^2+6x-2=2x^4-3x^3-3x^2+6x-2. ✓.

As outras raízes vêm de x^2-2=0, ou seja, x=\pm\sqrt2, que são reais e irracionais.

Resumo: as raízes são 1 (inteira), \frac12 (racional não inteira, única) e \pm\sqrt2 (reais irracionais).

Isso confere com a alternativa E: uma única raiz em \mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z} e pelo menos uma em \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A\pm\sqrt2 são raízes irracionais, então nem todas as raízes são racionais.
  • Bas demais raízes não estão todas em \mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}: duas são irracionais.
  • Cas outras duas raízes são reais (\pm\sqrt2), sem parte imaginária.
  • D\frac12 é raiz, então o polinômio é divisível por 2x-1.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Polinômios.

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Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗