Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

A expressão 4e^{2x} + 9e^{2y} - 16e^x - 54e^y + 61 = 0, com x e y reais, representa

  1. A
    o conjunto vazio.
  2. B
    um conjunto unitário.
  3. C
    um conjunto não-unitário com um número finito de pontos.
  4. D
    um conjunto com um número infinito de pontos.
  5. E
    o conjunto \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 2(e^x - 2)^2 + 3(e^y - 3)^2 = 1\} .
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

A ideia é completar quadrados, usando as substituições u = e^x e v = e^y, com u>0 e v>0.

A equação fica 4u^2 + 9v^2 - 16u - 54v + 61 = 0.

  1. Agrupe os termos em u: 4u^2 - 16u = 4(u^2 - 4u) = 4(u-2)^2 - 16.
  2. Agrupe os termos em v: 9v^2 - 54v = 9(v^2 - 6v) = 9(v-3)^2 - 81.
  3. Substitua: 4(u-2)^2 - 16 + 9(v-3)^2 - 81 + 61 = 0.
  4. Some as constantes: -16 - 81 + 61 = -36.

Logo:

4(u-2)^2 + 9(v-3)^2 = 36 \;\Rightarrow\; \frac{(u-2)^2}{9} + \frac{(v-3)^2}{4} = 1

Isso é uma elipse no plano (u,v), com centro em (2,3) e semieixos 3 e 2. Ela tem infinitos pontos.

É preciso verificar se esses pontos satisfazem u>0 e v>0. O ponto (2,3), o centro, está no primeiro quadrante. Perto dele há infinitos pontos da elipse com u>0 e v>0. Por exemplo, o ponto (2, 5) está na elipse, pois 0 + 4/4 = 1.

Para cada par (u,v) com u,v>0 existe um único par (x,y)=(\ln u,\ln v). Então o conjunto original tem infinitos pontos.

A alternativa E não serve: a equação dela é 2(u-2)^2+3(v-3)^2=1, que é outra curva, diferente da obtida.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana por ter a mesma forma de elipse em e^x e e^y, mas com coeficientes e lado direito diferentes dos obtidos.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA equação tem solução: por exemplo, e^x=2 e e^y=5 a satisfazem.
  • BConfunde a elipse com um ponto, como se o lado direito fosse 0 após completar quadrados.
  • CA curva é uma elipse contínua, com infinitos pontos, e não uma quantidade finita.
  • EA equação dada é 4(u-2)^2+9(v-3)^2=36, não 2(u-2)^2+3(v-3)^2=1; as curvas são diferentes.

Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Função exponencial.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 11 no caderno Matemática do ITA 2011

Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗