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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere a equação algébrica \sum_{k=1}^3(x - a_k)^{4-k} = 0. Sabendo que x = 0 é uma das raízes e que (a_1, a_2, a_3) é uma progressão geométrica com a_1 = 2 e soma 6, pode-se afirmar que

  1. A
    a soma de todas as raízes é 5.
  2. B
    o produto de todas as raízes é 21.
  3. C
    a única raiz real é maior que zero.
  4. D
    a soma das raízes não reais é 10.
  5. E
    todas as raízes são reais.
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Resolução comentada

A equação é a soma para k=1,2,3 de (x-a_k)^{4-k}, ou seja:

(x-a_1)^3+(x-a_2)^2+(x-a_3)=0.

A PG tem a_1=2 e soma 6, com razão q: 2+2q+2q^2=6, logo q^2+q-2=0, o que dá q=1 ou q=-2.

Como x=0 é raiz, substituímos: -a_1^3+a_2^2-a_3=0.

  • Para q=1: a=(2,2,2), e então -8+4-2=-6\neq 0. Não serve.
  • Para q=-2: a=(2,-4,8), e então -8+16-8=0. Serve.

A equação fica:

(x-2)^3+(x+4)^2+(x-8)=0.

Desenvolvendo:

  1. (x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8
  2. (x+4)^2=x^2+8x+16
  3. Somando tudo com x-8: x^3-5x^2+21x+0=0.

Portanto x(x^2-5x+21)=0.

O discriminante de x^2-5x+21 é 25-84=-59<0, então as outras duas raízes são complexas não reais, com soma 5 e produto 21.

Conferindo as alternativas:

  • Soma de todas as raízes: 0+5=5. Isso coincide com a alternativa A.
  • Produto de todas as raízes: 0, não 21.
  • A única raiz real é 0, que não é maior que zero.
  • A soma das raízes não reais é 5, não 10.
  • Nem todas as raízes são reais.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem usa o produto 21 do fator quadrático e esquece que a raiz 0 zera o produto total.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • B21 é o produto apenas das raízes não reais; como 0 é raiz, o produto de todas é 0.
  • CA única raiz real é 0, que não é maior que zero.
  • DA soma das raízes não reais é 5 (pela relação de Girard em x^2-5x+21), não 10.
  • EO discriminante de x^2-5x+21 é negativo, então há duas raízes não reais.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Progressão geométrica.

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Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗