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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Função modular

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

O produto das raízes reais da equação |x^2 - 3x + 2| = |2x - 3| é igual a

  1. A
    -5.
  2. B
    -1.
  3. C
    1.
  4. D
    2.
  5. E
    5.
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Resolução comentada

Se |a| = |b|, então a = b ou a = -b. Resolvemos os dois casos.

  1. Caso x^2 - 3x + 2 = 2x - 3:
x^2 - 5x + 5 = 0

O discriminante é \Delta = 25 - 20 = 5 > 0, então as duas raízes são reais e o produto delas é \frac{c}{a} = 5.

  1. Caso x^2 - 3x + 2 = -(2x - 3):
x^2 - x - 1 = 0

O discriminante é \Delta = 1 + 4 = 5 > 0, então as duas raízes são reais e o produto delas é -1.

  1. Verificação de repetição: as raízes do primeiro caso são \frac{5 \pm \sqrt5}{2} e as do segundo são \frac{1 \pm \sqrt5}{2}. Nenhuma coincide, então temos quatro raízes reais distintas.

Não há raízes estranhas a descartar, pois a equação |a| = |b| é equivalente a a = \pm b.

  1. Produto de todas as raízes reais:
5 \cdot (-1) = -5

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas B e E correspondem ao produto das raízes de apenas um dos dois casos (a=b ou a=-b); é preciso considerar os dois e multiplicar os resultados.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bconsidera só as raízes do segundo caso, x^2-x-1=0, cujo produto é -1.
  • Cnão corresponde a nenhum produto obtido; resulta de erro de sinal ou conta incompleta.
  • Dnão corresponde ao produto das raízes de nenhum dos dois casos.
  • Econsidera só as raízes do primeiro caso, x^2-5x+5=0, esquecendo o caso a=-b.

Assuntos: Função modular, Equação do 2º grau.

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Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗