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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Um polinômio real p(x) = \sum_{n=0}^{5} a_n x^n, com a_5 = 4, tem três raízes reais distintas, a, b e c, que satisfazem o sistema

\begin{cases} a + 2b + 5c = 0 \\ a + 4b + 2c = 6 \\ 2a + 2b + 2c = 5 \end{cases}.

Sabendo que a maior das raízes é simples e as demais têm multiplicidade dois, pode-se afirmar que p(1) é igual a

  1. A
    -4.
  2. B
    -2.
  3. C
    2.
  4. D
    4.
  5. E
    6.
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Resolução comentada

Primeiro, resolvemos o sistema para achar as raízes.

  1. Subtraindo a 1ª equação da 2ª: 2b-3c=6.
  2. Fazendo (3ª) -\,2\cdot(1ª): -2b-8c=5.
  3. Somando os resultados dos passos 1 e 2: -11c=11, logo c=-1.
  4. Em 2b-3c=6: 2b+3=6, então b=\tfrac{3}{2}.
  5. Na 1ª equação: a=-2b-5c=-3+5=2.

As raízes são 2, \tfrac32 e -1. A maior é 2, então ela é simples. As outras, \tfrac32 e -1, têm multiplicidade dois. Isso dá grau 1+2+2=5, compatível com o enunciado.

Como a_5=4 (coeficiente dominante), o polinômio é:

p(x)=4(x-2)\left(x-\tfrac32\right)^2(x+1)^2

Calculando em x=1:

p(1)=4\cdot(-1)\cdot\left(-\tfrac12\right)^2\cdot(2)^2=4\cdot(-1)\cdot\tfrac14\cdot4=-4

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BErra a conta de p(1), por exemplo esquecendo o fator 4 ou errando o quadrado de (1-\tfrac32).
  • CErra o sinal e o valor, ao atribuir multiplicidade dois a raízes diferentes das corretas ou trocar a raiz simples.
  • DEsquece que (1-2)=-1 é negativo e obtém o valor com sinal trocado.
  • ENão corresponde a nenhuma combinação correta dos fatores com as raízes 2, \tfrac32 e -1.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Sistemas lineares.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗