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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Polinômios

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere o polinômio p(x) = \sum_{n=0}^{15} a_n x^n com coeficientes a_0 = -1 e a_n = 1 + i\, a_{n-1}, n = 1, 2, \dots, 15. Das afirmações:

I. p(-1) \notin \mathbb{R},

II. |p(x)| \le 4\left(3 + \sqrt{2} + \sqrt{5}\right), \forall x \in [-1, 1],

III. a_8 = a_4,

é (são) verdadeira(s) apenas

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    I e II.
  5. E
    II e III.
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Resolução comentada

Primeiro calculamos os coeficientes pela recorrência a_n = 1 + i\,a_{n-1}, com a_0=-1:

  1. a_1 = 1 - i
  2. a_2 = 1 + i(1-i) = 2 + i
  3. a_3 = 1 + i(2+i) = 2i
  4. a_4 = 1 + i\cdot 2i = -1

Como a_4 = a_0, a sequência se repete com período 4: a_{n+4}=a_n. Logo a_8 = a_4 = -1, e a afirmação III é verdadeira.

Afirmação I: p(-1)=\sum a_n(-1)^n. Os coeficientes são -1,\ 1-i,\ 2+i,\ 2i e se repetem. Em cada bloco de 4 termos, com sinais +,-,+,- (pois 4 é par, o padrão se mantém), a soma é -1-(1-i)+(2+i)-2i = 0. Há 16 termos (n=0 a 15), ou seja, 4 blocos, então p(-1)=0\in\mathbb{R}. A afirmação I é falsa.

Afirmação II: para |x|\le1, |p(x)|\le\sum|a_n|. Os módulos são |-1|=1, |1-i|=\sqrt2, |2+i|=\sqrt5, |2i|=2. A soma em um bloco é 3+\sqrt2+\sqrt5, e em 4 blocos é 4(3+\sqrt2+\sqrt5). Pela desigualdade triangular, |p(x)|\le 4(3+\sqrt2+\sqrt5), então II é verdadeira.

São verdadeiras II e III.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AAfirma que I é verdadeira, mas p(-1)=0 é real, pois os 4 blocos de coeficientes somam zero com os sinais alternados.
  • BIgnora que III também é verdadeira, já que a sequência tem período 4 e a_8 = a_4.
  • CIgnora que II também vale, pela desigualdade triangular com a soma dos módulos.
  • DInclui I, que é falsa, e exclui III, que é verdadeira.

Assuntos: Polinômios, Números complexos.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗