Questão 8 (Matemática) do ITA 2010

Question

Sabe-se que o polinômio p(x) = x^5 - a x^3 + a x^2 - 1, a \in \mathbb{R}, admite a raiz -i. Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p:

I. Quatro das raízes são imaginárias puras.

II. Uma das raízes tem multiplicidade dois.

III. Apenas uma das raízes é real.

Destas, é (são) verdadeira(s) apenas

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática


\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}	\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais	i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\}	\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\}	\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\}	M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\}	\det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N}	A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N}	A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sabe-se que o polinômio p(x) = x^5 - a x^3 + a x^2 - 1, a \in \mathbb{R}, admite a raiz -i. Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p:

I. Quatro das raízes são imaginárias puras.

II. Uma das raízes tem multiplicidade dois.

III. Apenas uma das raízes é real.

Destas, é (são) verdadeira(s) apenas

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Como p tem coeficientes reais e admite a raiz -i, o conjugado i também é raiz.

Para achar a, substituímos x=i (as potências são i^5=i, i^3=-i, i^2=-1):

p(i)=i-a(-i)+a(-1)-1=(1+a)i-(a+1)=(1+a)(i-1)=0

Logo a=-1 e p(x)=x^5+x^3-x^2-1.

Agora fatoramos por agrupamento:

p(x)=x^3(x^2+1)-(x^2+1)=(x^2+1)(x^3-1)

E x^3-1=(x-1)(x^2+x+1). Assim:

p(x)=(x^2+1)(x-1)(x^2+x+1)

As raízes são:

x^2+1=0: \pm i (imaginárias puras);
x-1=0: x=1 (real);
x^2+x+1=0: x=\dfrac{-1\pm i\sqrt3}{2} (complexas não reais e não imaginárias puras).

Análise das afirmações:

I. Falsa: apenas duas raízes (\pm i) são imaginárias puras.

II. Falsa: as cinco raízes são distintas, então nenhuma tem multiplicidade dois.

III. Verdadeira: a única raiz real é 1.

Só a III é verdadeira.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASó i e -i são imaginárias puras; as outras duas raízes complexas têm parte real -1/2.
BAs cinco raízes são distintas, não há multiplicidade dois.
DInclui a I, que é falsa, pois há apenas duas raízes imaginárias puras.
EInclui a II, que é falsa, pois não há raiz repetida.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗