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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Equações e inequações trigonométricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

A equação em x,

\operatorname{arctg} (e^x + 2) - \operatorname{arccotg} \left(\frac{e^x}{e^{2x} - 1}\right) = \frac{\pi}{4},\ x \in \mathbb{R}\backslash\{0\},
  1. A
    admite infinitas soluções, todas positivas.
  2. B
    admite uma única solução, e esta é positiva.
  3. C
    admite três soluções que se encontram no intervalo \left]-\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right[.
  4. D
    admite apenas soluções negativas.
  5. E
    não admite solução.
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Resolução comentada

Faça t = e^x > 0, com t \neq 1 (pois x \neq 0). Sejam \alpha = \operatorname{arctg}(t+2) e \beta = \operatorname{arccotg}\left(\frac{t}{t^2-1}\right). A equação fica \alpha - \beta = \frac{\pi}{4}.

Caso 0<t<1: o argumento da arccotg é negativo, então \beta \in \left]\frac{\pi}{2}, \pi\right[. Como \alpha < \frac{\pi}{2}, temos \alpha - \beta < 0, e não há solução.

Caso t>1: o argumento é positivo, então \beta \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ e \operatorname{tg}\beta = \frac{t^2-1}{t}.

  1. Aplicando a tangente em \alpha - \beta = \frac{\pi}{4}: \frac{(t+2) - \operatorname{tg}\beta}{1 + (t+2)\operatorname{tg}\beta} = 1.
  2. Isso dá t + 2 - \operatorname{tg}\beta = 1 + (t+2)\operatorname{tg}\beta, ou seja, \operatorname{tg}\beta = \frac{t+1}{t+3}.
  3. Igualando: \frac{(t-1)(t+1)}{t} = \frac{t+1}{t+3}. Como t+1 \neq 0, fica (t-1)(t+3) = t.
  4. Então t^2 + t - 3 = 0, e t = \frac{-1+\sqrt{13}}{2} \approx 1{,}30. Essa raiz satisfaz t>1.

Conferência: \alpha \approx 73^\circ e \beta \approx 28^\circ, cuja diferença é 45^\circ. Como a tangente de \alpha-\beta vale 1 e \alpha-\beta \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[, a diferença é de fato \frac{\pi}{4}.

Portanto, x = \ln\frac{-1+\sqrt{13}}{2} > 0 é a única solução.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA equação do segundo grau em t=e^x tem uma só raiz positiva, logo não há infinitas soluções.
  • CNão há três soluções; só existe uma, e ela é positiva.
  • DPara t<1 (x negativo) a arccotg fica no segundo quadrante e a diferença é negativa, então não há solução negativa.
  • EExiste solução: t=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}>1 satisfaz a equação.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Função exponencial.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗