Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sobre os elementos da matriz

A = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \in M_{4 \times 4}(\mathbb{R})

sabe-se que (x_1, x_2, x_3, x_4) e (y_1, y_2, y_3, y_4) são duas progressões geométricas de razão 3 e 4 e de soma 80 e 255, respectivamente. Então, \det(A^{-1}) e o elemento (A^{-1})_{23} valem, respectivamente,

  1. A
    \frac{1}{72} e 12.
  2. B
    -\frac{1}{72} e -12.
  3. C
    -\frac{1}{72} e 12.
  4. D
    -\frac{1}{72} e \frac{1}{12}.
  5. E
    \frac{1}{72} e \frac{1}{12}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Passo 1: descobrir os termos das progressões.

Para a primeira PG, de razão 3 e 4 termos: x_1(1+3+9+27)=80, logo 40x_1=80 e x_1=2. Então (x_1,x_2,x_3,x_4)=(2,6,18,54).

Para a segunda PG, de razão 4: y_1(1+4+16+64)=255, logo 85y_1=255 e y_1=3. Então (y_1,y_2,y_3,y_4)=(3,12,48,192).

Passo 2: determinante de A.

Desenvolvendo por Laplace na linha 3, que só tem o elemento 1 na posição (3,4), o cofator tem sinal (-1)^{3+4}=-1. Resta o determinante da matriz obtida retirando a linha 3 e a coluna 4:

\begin{vmatrix} 2&6&18\\3&12&48\\1&0&0\end{vmatrix}

Desenvolvendo pela linha 3, o elemento 1 está na posição (3,1), com sinal +. Fica \begin{vmatrix}6&18\\12&48\end{vmatrix}=288-216=72.

Assim, \det A=-72 e \det(A^{-1})=-\dfrac{1}{72}.

Passo 3: elemento (A^{-1})_{23}.

Pela fórmula (A^{-1})_{ij}=\dfrac{C_{ji}}{\det A}, precisamos de C_{32}. Retirando a linha 3 e a coluna 2, sobra

\begin{vmatrix}2&18&54\\3&48&192\\1&0&0\end{vmatrix}

Desenvolvendo pela linha 3: \begin{vmatrix}18&54\\48&192\end{vmatrix}=3456-2592=864.

O sinal do cofator é (-1)^{3+2}=-1, logo C_{32}=-864.

Então (A^{-1})_{23}=\dfrac{-864}{-72}=12.

Resultado: \det(A^{-1})=-\frac{1}{72} e (A^{-1})_{23}=12.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aerra o sinal do determinante, esquecendo o sinal (-1)^{3+4} do cofator.
  • Bacerta o determinante, mas erra o sinal do elemento da inversa, ignorando o sinal do cofator C_{32} ou o de \det A.
  • Dacerta o determinante, mas calcula o elemento da inversa de forma errada, dando \frac{1}{12} (inverso do valor correto).
  • Eerra o sinal do determinante e também o valor do elemento da inversa.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Progressão geométrica.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 14 no caderno Matemática do ITA 2010

Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗