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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Progressão aritmética

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere a matriz

A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & a_4 & a_5 \\ 0 & 0 & a_6 \end{bmatrix} \in M_{3\times 3}(\mathbb{R}),

em que a_4 = 10, \det A = -1000 e a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 e a_6 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão d > 0. Pode-se afirmar que \frac{a_1}{d} é igual a

  1. A
    -4.
  2. B
    -3.
  3. C
    -2.
  4. D
    -1.
  5. E
    1.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A matriz é triangular superior, então o determinante é o produto da diagonal principal:

\det A = a_1 \cdot a_4 \cdot a_6 = -1000.

Como a_4 = 10, temos a_1 \cdot a_6 = -100.

Na PA de razão d, escrevemos os termos a partir de a_4:

  1. a_1 = a_4 - 3d = 10 - 3d
  2. a_6 = a_4 + 2d = 10 + 2d

Substituindo em a_1 a_6 = -100:

(10-3d)(10+2d) = -100
100 + 20d - 30d - 6d^2 = -100
-6d^2 - 10d + 200 = 0 \Rightarrow 3d^2 + 5d - 100 = 0.

Discriminante: \Delta = 25 + 1200 = 1225, e \sqrt{1225} = 35.

d = \frac{-5 \pm 35}{6} \Rightarrow d = 5 \ \text{ou}\ d = -\frac{20}{3}.

Como d > 0, d = 5.

Então a_1 = 10 - 15 = -5 e

\frac{a_1}{d} = \frac{-5}{5} = -1.

Verificação: a_6 = 20 e (-5)\cdot 10 \cdot 20 = -1000. ✓

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a solução; resultaria de d ou a1 errados (a1/d = -4 não satisfaz o determinante).
  • BResulta de erro na montagem da PA ou na equação do segundo grau; não satisfaz det A = -1000.
  • CTambém não satisfaz a condição do determinante; vem de erro de contas na equação.
  • EDaria a1 positivo, mas a1 = 10 - 3d com d = 5 é negativo; ignora o sinal de a1.

Assuntos: Progressão aritmética, Equação do 2º grau, Matrizes e determinantes.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗