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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

O valor da soma \sum_{n=1}^6 \sen\left(\frac{2\alpha}{3^n}\right) \sen\left(\frac{\alpha}{3^n}\right), para todo \alpha \in \mathbb{R}, é igual a

  1. A
    \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\alpha}{729}\right) - \cos\alpha \right].
  2. B
    \frac{1}{2} \left[ \sen\left(\frac{\alpha}{243}\right) - \sen\left(\frac{\alpha}{729}\right) \right].
  3. C
    \cos\left(\frac{\alpha}{243}\right) - \cos\left(\frac{\alpha}{729}\right).
  4. D
    \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\alpha}{729}\right) - \cos\left(\frac{\alpha}{243}\right) \right].
  5. E
    \cos\left(\frac{\alpha}{729}\right) - \cos\alpha.
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Resolução comentada

Use a transformação de produto em soma: \sen a\,\sen b=\frac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)].

Com a=\frac{2\alpha}{3^n} e b=\frac{\alpha}{3^n}, temos a-b=\frac{\alpha}{3^n} e a+b=\frac{3\alpha}{3^n}=\frac{\alpha}{3^{n-1}}.

Cada termo fica:

\sen\left(\frac{2\alpha}{3^n}\right)\sen\left(\frac{\alpha}{3^n}\right)=\frac{1}{2}\left[\cos\frac{\alpha}{3^n}-\cos\frac{\alpha}{3^{n-1}}\right]

Se c_n=\cos\frac{\alpha}{3^n}, o termo é \frac{1}{2}(c_n-c_{n-1}). A soma é telescópica:

  1. n=1: \frac{1}{2}(c_1-c_0)
  2. n=2: \frac{1}{2}(c_2-c_1)
  3. ... até n=6: \frac{1}{2}(c_6-c_5)

Os termos intermediários se cancelam, e sobra:

\frac{1}{2}(c_6-c_0)=\frac{1}{2}\left[\cos\frac{\alpha}{3^6}-\cos\alpha\right]

Como 3^6=729, o resultado é \frac{1}{2}\left[\cos\frac{\alpha}{729}-\cos\alpha\right].

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana por ter os mesmos cossenos corretos, mas sem o fator \frac{1}{2} da transformação.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BTroca o produto de senos por diferença de senos, fórmula que não corresponde à identidade usada.
  • CTermina em \alpha/243 e omite o fator \frac{1}{2}, erro no cancelamento dos termos.
  • DUsa \cos(\alpha/243) como último termo, mas o cancelamento deixa \cos\alpha (n=0).
  • EEsquece o fator \frac{1}{2} da fórmula de produto em soma.

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗