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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de \frac{2}{3} a probabilidade de ser aceso. Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a

  1. A
    \frac{16}{27}.
  2. B
    \frac{49}{81}.
  3. C
    \frac{151}{243}.
  4. D
    \frac{479}{729}.
  5. E
    \frac{2^4}{3^4} + \frac{2^5}{3^5}.
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Resolução comentada

Cada refletor é aceso com probabilidade \frac{2}{3} (e fica apagado com \frac{1}{3}), de forma independente. Isso é uma distribuição binomial com n=6: a probabilidade de exatamente k acesos é \binom{6}{k}\left(\frac{2}{3}\right)^k\left(\frac{1}{3}\right)^{6-k}.

Como os casos "4 acesos" e "5 acesos" não podem ocorrer juntos, somamos as probabilidades.

  1. Exatamente 4 acesos: \binom{6}{4}\cdot\frac{2^4}{3^4}\cdot\frac{1}{3^2}=15\cdot\frac{16}{729}=\frac{240}{729}.

  2. Exatamente 5 acesos: \binom{6}{5}\cdot\frac{2^5}{3^5}\cdot\frac{1}{3}=6\cdot\frac{32}{729}=\frac{192}{729}.

  3. Soma: \frac{240+192}{729}=\frac{432}{729}.

Simplificando, dividindo por 27: 432/27=16 e 729/27=27, então o resultado é \frac{16}{27}.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana por esquecer os coeficientes binomiais e a probabilidade dos refletores apagados.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem base no cálculo binomial; não corresponde à soma das duas probabilidades.
  • CNão corresponde à soma correta de \binom{6}{4} e \binom{6}{5} com as potências adequadas.
  • DValor errado, provavelmente de erro na soma ou nos coeficientes binomiais.
  • EEsquece os coeficientes binomiais e os refletores apagados (fatores \frac13).

Assunto: Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗