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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Dados A \in M_{3\times 2}(\mathbb{R}) e b \in M_{3\times 1}(\mathbb{R}), dizemos que X_0 \in M_{2\times 1}(\mathbb{R}) é a melhor aproximação quadrática do sistema AX=b quando \sqrt{(AX_0-b)^t(AX_0-b)} assume o menor valor possível. Então, dado o sistema

\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix},

a sua melhor aproximação quadrática é

  1. A
    \begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}.
  2. B
    \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}.
  3. C
    \begin{bmatrix}-2 \\ 0\end{bmatrix}.
  4. D
    \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}.
  5. E
    \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}.
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Resolução comentada

A expressão \sqrt{(AX_0-b)^t(AX_0-b)} é a norma do vetor resíduo AX-b. Minimizá-la equivale a minimizar a soma dos quadrados de suas coordenadas.

Monte o resíduo com X=\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}:

AX-b=\begin{bmatrix}-x-1\\ y-1\\ x-1\end{bmatrix}

A soma dos quadrados é:

S=(-x-1)^2+(y-1)^2+(x-1)^2
  1. Primeira parcela mais terceira: (x+1)^2+(x-1)^2=2x^2+2.
  2. Logo, S=2x^2+2+(y-1)^2.
  3. O termo 2x^2 é mínimo quando x=0.
  4. O termo (y-1)^2 é mínimo quando y=1.

Assim, o mínimo ocorre em x=0 e y=1, com S=2.

Confirmando pelas equações normais, A^tAX=A^tb: A^tA=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix} e A^tb=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}, o que dá x=0, y=1.

A melhor aproximação é \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADá x=1 e y=-1, com resíduo (-2,-2,0) e soma de quadrados 8, muito maior que o mínimo 2.
  • BCom x=1 o resíduo é (-2,0,0), soma 4; o valor de x não minimiza.
  • CCom x=-2 e y=0 o resíduo é (1,-1,-3), soma 11.
  • DCom x=1 e y=0 o resíduo é (-2,-1,0), soma 5.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Sistemas lineares.

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Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗