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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Sistemas lineares

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

O sistema

\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} ,\ a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2 \in \mathbb{R},

com (c_1, c_2) \neq (0, 0), a_1c_1 + a_2c_2 = b_1c_1 + b_2c_2 = 0, é

  1. A
    determinado.
  2. B
    determinado somente quando c_1 \neq 0 e c_2 \neq 0.
  3. C
    determinado somente quando c_1 \neq 0 e c_2 = 0 ou c_1 = 0 e c_2 \neq 0.
  4. D
    impossível.
  5. E
    indeterminado.
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Resolução comentada

Seja v=(c_1,c_2)\neq(0,0). As condições a_1c_1+a_2c_2=0 e b_1c_1+b_2c_2=0 dizem que as colunas (a_1,a_2) e (b_1,b_2) da matriz dos coeficientes são ortogonais a v.

No plano, o conjunto dos vetores ortogonais a um vetor não nulo é uma reta pela origem. Logo as duas colunas são múltiplas de um mesmo vetor w perpendicular a v: (a_1,a_2)=\alpha w e (b_1,b_2)=\beta w.

Assim, o lado esquerdo do sistema fica

x(a_1,a_2)+y(b_1,b_2)=(\alpha x+\beta y)\,w.

O sistema pede que esse vetor seja igual a v. Como w\perp v, w\neq 0 e v\neq 0, os vetores w e v não são paralelos, então (\alpha x+\beta y)\,w=v é impossível. O caso w=0 (colunas nulas) também dá 0=v, que é falso.

Verificação por determinante: \det=a_1b_2-a_2b_1=0, pois as colunas são paralelas, então o sistema não é determinado. Ele é impossível, pois o vetor v não está no espaço gerado pelas colunas (que está contido na reta de w).

Exemplo: c=(1,0) obriga a_1=b_1=0, e o sistema fica 0=1, absurdo.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO determinante dos coeficientes é nulo, então o sistema nunca é determinado.
  • BSupõe determinação para c_1,c_2\neq0, mas o determinante é sempre zero.
  • CMesmo erro: em nenhum caso há solução única; por exemplo, com c=(1,0) obtém-se 0=1.
  • EIndeterminado exigiria solução existente, mas (c_1,c_2) não pertence ao espaço gerado pelas colunas.

Assunto: Sistemas lineares.

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Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗