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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Se as soluções da equação algébrica 2x^3 - ax^2 + bx + 54 = 0, com coeficientes a, b \in \mathbb{R}, b \neq 0, formam, numa determinada ordem, uma progressão geométrica, então, \dfrac{a}{b} é igual a

  1. A
    -3.
  2. B
    -\dfrac{1}{3}.
  3. C
    \dfrac{1}{3}.
  4. D
    1.
  5. E
    3.
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Resolução comentada

Se as três raízes formam uma PG, podemos escrevê-las como \dfrac{m}{q}, m e mq, onde m é o termo do meio e q é a razão.

As relações de Girard para 2x^3 - ax^2 + bx + 54 = 0 são:

  1. Produto das raízes: -\dfrac{54}{2} = -27. Como o produto vale \dfrac{m}{q}\cdot m\cdot mq = m^3, temos m^3 = -27, logo m = -3.

  2. Soma das raízes: \dfrac{a}{2}, ou seja, m\left(\dfrac{1}{q} + 1 + q\right) = \dfrac{a}{2}.

  3. Soma dos produtos dois a dois: \dfrac{b}{2}. Esses produtos são \dfrac{m^2}{q} + m^2 + m^2q = m^2\left(\dfrac{1}{q} + 1 + q\right).

Chamando S = \dfrac{1}{q} + 1 + q, temos \dfrac{a}{2} = mS e \dfrac{b}{2} = m^2 S.

Como b \neq 0, S \neq 0, e podemos dividir:

\frac{a}{b} = \frac{mS}{m^2 S} = \frac{1}{m} = -\frac{1}{3}.

A razão q não precisa ser conhecida, pois S se cancela.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa m=-3 como se a/b=m, em vez de 1/m.
  • CAcerta o módulo 1/3, mas erra o sinal, esquecendo que m=-3.
  • DNão tem base nas relações de Girard; ignora que a/b = 1/m.
  • EToma a/b = -m = 3, invertendo a razão e o sinal.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Progressão geométrica.

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Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗