Questão 7 (Matemática) do ITA 2009

Question

Suponha que os coeficientes reais a e b da equação x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1 = 0 são tais que a equação admite solução não real r com |r| \neq 1. Das seguintes afirmações:

I. A equação admite quatro raízes distintas, sendo todas não reais.
II. As raízes podem ser duplas.
III. Das quatro raízes, duas podem ser reais.

é (são) verdadeira(s)

A
apenas I.
B
apenas II.
C
apenas III.
D
apenas II e III.
E
nenhuma.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Suponha que os coeficientes reais a e b da equação x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1 = 0 são tais que a equação admite solução não real r com |r| \neq 1. Das seguintes afirmações:

I. A equação admite quatro raízes distintas, sendo todas não reais.
II. As raízes podem ser duplas.
III. Das quatro raízes, duas podem ser reais.

é (são) verdadeira(s)

A
apenas I.
B
apenas II.
C
apenas III.
D
apenas II e III.
E
nenhuma.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A equação é recíproca: se r é raiz, 1/r também é (e r\neq0, pois o termo independente é 1). Como os coeficientes são reais, o conjugado \bar r e 1/\bar r também são raízes.\n\nAs raízes são então r,\ \bar r,\ \dfrac{1}{r},\ \dfrac{1}{\bar r}.\n\n1. Como r não é real, r\neq\bar r.\n2. Como |r|\neq1, r\bar r\neq1, logo r\neq 1/\bar r e \bar r\neq 1/r.\n3. r\neq1/r, pois isso daria r=\pm1, que é real.\n4. Do mesmo modo, \bar r\neq 1/\bar r.\n\nPortanto as quatro raízes r,\ \bar r,\ 1/r,\ 1/\bar r são distintas. Isso já são as 4 raízes do polinômio de grau 4, então não há outras.\n\nAvaliando as afirmações:\n\n- I: as quatro são distintas e nenhuma é real, pois 1/r real implicaria r real. Verdadeira.\n- II: raízes duplas exigiriam coincidência entre elas, o que foi excluído. Falsa.\n- III: duas reais contrariam o fato de todas serem não reais. Falsa.\n\nSó a I é verdadeira.\n\nAlternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

Braízes duplas exigiriam coincidências entre r,\bar r,1/r,1/\bar r, impossíveis com r não real e |r|\neq1.
Cas quatro raízes são não reais, pois 1/r e \bar r só seriam reais se r fosse real.
Dambas as afirmações II e III são falsas, pelas mesmas razões.
Ea afirmação I é verdadeira, então não é verdade que nenhuma seja.

Assunto: Equações polinomiais e relações de Girard.

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Questão 7 no caderno Matemática do ITA 2009

Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗