PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Matemática) do ITA 2009
Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A
P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
Seja f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\backslash\{0\} uma função satisfazendo às condições:
Das afirmações:
I. f pode ser ímpar.
II. f(0) = 1.
III. f é injetiva.
IV. f não é sobrejetiva, pois f(x) > 0 para todo x \in \mathbb{R}.
é (são) falsa(s) apenas
- AI e III.
- BII e III.
- CI e IV.
- DIV.
- EI.
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Resolução comentada
Use a equação funcional f(x+y)=f(x)f(y) com a condição f(x)\neq 0 e f(x)\neq 1 para x\neq 0.
II. Faça y=0: f(x)=f(x)f(0). Como f(x)\neq 0, dividimos e obtemos f(0)=1. Verdadeira.
I. Se f fosse ímpar, teríamos f(0)=0, o que contradiz f(0)=1 (e também o contradomínio \mathbb{R}\backslash\{0\}). Logo f não pode ser ímpar. Falsa.
III. Suponha f(a)=f(b) com a\neq b. Então f(a-b)=f(a)f(-b), e f(-b)=1/f(b), pois f(b)f(-b)=f(0)=1. Assim f(a-b)=f(a)/f(b)=1 com a-b\neq 0, contradizendo a hipótese f(x)\neq1 para x\neq0. Logo f é injetiva. Verdadeira.
IV. Para todo x, f(x)=f(x/2)^2\ge 0, e como f(x)\neq0, temos f(x)>0. Então f não atinge os reais negativos, que estão no contradomínio \mathbb{R}\backslash\{0\}. Portanto não é sobrejetiva. Verdadeira.
Apenas a afirmação I é falsa.
Alternativa E.
Por que as outras alternativas estão erradas
- AConsidera III falsa, mas a injetividade decorre de f(a-b)=f(a)/f(b)=1 forçar a=b.
- BConsidera II falsa, mas f(0)=1 segue de f(x)=f(x)f(0) com f(x)≠0; e também III é verdadeira.
- CConsidera IV falsa, mas f(x)=f(x/2)² >0 realmente impede a sobrejetividade sobre ℝ{0}.
- DMarca só IV como falsa, ignorando que I é falsa (f ímpar exigiria f(0)=0) e que IV é verdadeira.
Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Função exponencial.
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Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗