Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Se a = \cos \frac{\pi}{5} e b = \sen \frac{\pi}{5}, então, o número complexo \left( \cos \frac{\pi}{5} + i \sen \frac{\pi}{5} \right)^{54} é igual a

  1. A
    a + bi.
  2. B
    - a + bi.
  3. C
    (1 - 2a^2b^2) + ab(1 + b^2)i.
  4. D
    a - bi.
  5. E
    1 - 4a^2b^2 + 2ab(1 - b^2)i.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Pela 1ª fórmula de De Moivre, (\cos\theta + i\,\sen\theta)^n = \cos(n\theta) + i\,\sen(n\theta). Aqui \theta = \frac{\pi}{5} e n=54.

  1. O ângulo fica 54\cdot\frac{\pi}{5} = \frac{54\pi}{5}.
  2. Reduza à primeira volta: \frac{54\pi}{5} = 10\pi + \frac{4\pi}{5}, e 10\pi são 5 voltas completas. Então o ângulo equivale a \frac{4\pi}{5}.
  3. Assim, o número é \cos\frac{4\pi}{5} + i\,\sen\frac{4\pi}{5}.
  4. Como \frac{4\pi}{5} = \pi - \frac{\pi}{5}, temos \cos\frac{4\pi}{5} = -\cos\frac{\pi}{5} = -a e \sen\frac{4\pi}{5} = \sen\frac{\pi}{5} = b.

Logo o resultado é -a + bi.

Conferindo a alternativa E: ela corresponde a \cos\frac{4\pi}{5} escrito como \cos(4\theta)? Não: \cos 4\theta = 1-8a^2b^2 não coincide, então E não serve. A alternativa C também é expressão de \cos 2\theta e \sen 2\theta distorcidos, e não bate com -a+bi.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AReduz o ângulo a \frac{\pi}{5} ignorando que \frac{54\pi}{5} equivale a \frac{4\pi}{5}, não a \frac{\pi}{5}.
  • CExpressão que não corresponde ao ângulo \frac{4\pi}{5}; é uma mistura de fórmulas de arco duplo mal aplicadas.
  • DÉ o conjugado de a+bi, que corresponderia ao ângulo -\frac{\pi}{5}, não a \frac{4\pi}{5}.
  • EExpressão de arco duplo/quádruplo que não resulta em \frac{4\pi}{5}; não coincide com -a+bi.

Assunto: Números complexos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 4 no caderno Matemática do ITA 2009

Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗