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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam C uma circunferência de raio R > 4 e centro (0,0) e AB uma corda de C. Sabendo que (1,3) é ponto médio de \overline{AB}, então uma equação da reta que contém \overline{AB} é

  1. A
    y + 3x - 6 = 0.
  2. B
    3y + x - 10 = 0.
  3. C
    2y + x - 7 = 0.
  4. D
    y + x - 4 = 0.
  5. E
    2y + 3x - 9 = 0.
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Resolução comentada

Use a propriedade: o segmento que liga o centro de uma circunferência ao ponto médio de uma corda é perpendicular a essa corda.

  1. O centro é O(0,0) e o ponto médio é M(1,3). O coeficiente angular de OM é m_{OM}=\dfrac{3-0}{1-0}=3.

  2. A corda é perpendicular a OM, então seu coeficiente angular é m=-\dfrac{1}{3}.

  3. A reta passa por M(1,3):

y-3=-\frac{1}{3}(x-1)
  1. Multiplicando por 3: 3y-9=-x+1, ou seja, x+3y-10=0, que é 3y+x-10=0.

Conferência: o ponto (1,3) satisfaz 3\cdot 3+1-10=0. Além disso, como R>4 e |OM|=\sqrt{10}\approx 3{,}16<R, o ponto M está dentro da circunferência, então a corda existe.

Alternativa B.

Pegadinha: As alternativas A, C, D e E também passam por (1,3) (por exemplo, 3+3-6=0), então só testar o ponto não basta: é preciso usar a perpendicularidade com o raio.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATem coeficiente angular -3, que não é perpendicular a OM; além disso (1,3) não a satisfaz (3+3-6\neq 0 não vale para a forma dada, pois dá 0, mas a inclinação está errada).
  • CTem coeficiente angular -1/2 e não é perpendicular a OM; (1,3) resulta em 6+1-7=0, mas a inclinação está errada.
  • DTem inclinação -1, que não é o inverso oposto de 3.
  • ETem inclinação -3/2, que não é perpendicular a OM.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Equação da circunferência.

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Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗