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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Cone e tronco de cone

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8\ cm de altura e de 60^o de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência e distam 2\sqrt{3}\ cm do vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, em cm^3, é igual a

  1. A
    \frac{416}{9}\pi.
  2. B
    \frac{480}{9}\pi.
  3. C
    \frac{500}{9}\pi.
  4. D
    \frac{512}{9}\pi.
  5. E
    \frac{542}{9}\pi.
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Resolução comentada

Ângulo de vértice 60^\circ significa que a geratriz faz 30^\circ com o eixo. O cone tem altura 8, então o raio da base é R = 8\,\tg 30^\circ = \dfrac{8}{\sqrt3} e R^2=\dfrac{64}{3}.

Os pontos de contato estão a 2\sqrt3 do vértice, medidos sobre a geratriz. Eles formam uma circunferência de raio r e ficam a uma distância d do vértice ao longo do eixo:

  1. r = 2\sqrt3\,\sen 30^\circ = \sqrt3
  2. d = 2\sqrt3\,\cos 30^\circ = 3

A esfera é tangente à geratriz nesse ponto, então o raio da esfera é perpendicular à geratriz. Seja O o centro da esfera, V o vértice e T o ponto de contato. No triângulo retângulo VTO, o ângulo em V vale 30^\circ e VT = 2\sqrt3. Logo:

\rho = VT\,\tg 30^\circ = 2\sqrt3\cdot\frac{1}{\sqrt3} = 2

O raio da esfera é \rho = 2 cm. Verificação: VO = \dfrac{\rho}{\sen 30^\circ} = 4, e a esfera cabe no cone, pois VO + \rho = 6 < 8.

Volume do cone:

V_c=\frac{1}{3}\pi R^2 h=\frac13\pi\cdot\frac{64}{3}\cdot 8=\frac{512}{9}\pi

Volume da esfera:

V_e=\frac43\pi\cdot 2^3=\frac{32}{3}\pi=\frac{96}{9}\pi

Volume não ocupado:

\frac{512}{9}\pi-\frac{96}{9}\pi=\frac{416}{9}\pi

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece de subtrair o volume da esfera e dá só o volume do cone.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem justificativa geométrica; não resulta de subtrair o volume correto da esfera.
  • CNão corresponde ao cálculo com raio da esfera igual a 2 cm.
  • DÉ apenas o volume do cone, sem descontar a esfera.
  • EValor maior que o volume do cone, impossível para a parte não ocupada.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Esfera.

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Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗