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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

A expressão

\frac{2 \left[ \sen \left( x + \frac{11}{2}\pi \right) + \cotg^2 x \right] \tg \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}}

é equivalente a

  1. A
    [\cos x - \sen^2 x] \cotg x.
  2. B
    [\sen x + \cos x] \tg x.
  3. C
    [\cos^2 x - \sen x] \cotg^2 x.
  4. D
    [1 - \cotg^2 x] \sen x.
  5. E
    [1 + \cotg^2 x] [\sen x + \cos x].
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Vamos simplificar a expressão em duas partes.

  1. A fração com \tg\frac{x}{2}: usando \sen x = \dfrac{2\tg\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}}, o fator \dfrac{2\tg\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}} é exatamente \sen x.

  2. O seno com \frac{11}{2}\pi: \frac{11\pi}{2} = 4\pi + \frac{3\pi}{2}, então \sen\left(x+\frac{11\pi}{2}\right)=\sen\left(x+\frac{3\pi}{2}\right) = -\cos x.

A expressão fica:

\left[-\cos x + \cotg^2 x\right]\sen x

Agora, \cotg^2 x \cdot \sen x = \dfrac{\cos^2 x}{\sen x}, e -\cos x\,\sen x permanece. Então:

-\cos x\,\sen x + \frac{\cos^2 x}{\sen x} = \frac{\cos x\,(\cos x - \sen^2 x)}{\sen x} = (\cos x - \sen^2 x)\cotg x

Conferindo: \dfrac{\cos x(\cos x-\sen^2 x)}{\sen x} = \dfrac{\cos^2 x - \cos x\sen^2 x}{\sen x} = \dfrac{\cos^2 x}{\sen x} - \cos x\,\sen x. Confere.

Isso é a alternativa A.

Alternativa A.

Pegadinha: Errar o sinal da redução ao primeiro quadrante: \sen(x+3\pi/2)=-\cos x, não +\cos x.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão resulta da simplificação; ignora o termo \cotg^2 x\,\sen x=\cos^2 x/\sen x.
  • CFatoração incorreta, com \cotg^2 x em evidência, que não reproduz -\cos x\,\sen x+\cos^2 x/\sen x.
  • DTrata \sen(x+11\pi/2) como -\cos^2-algo e confunde o termo -\cos x com -1.
  • ENão corresponde ao resultado; mistura \sen x+\cos x sem base na redução do arco.

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗