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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

No plano, considere S o lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distâncias à reta t : x = 1 e ao ponto A = (3, 2) é igual a 4. Então, S é

  1. A
    uma circunferência de raio \sqrt{2} e centro (2, 1).
  2. B
    uma circunferência de raio 1 e centro (1, 2).
  3. C
    uma hipérbole.
  4. D
    uma elipse de eixos de comprimento 2\sqrt{2} e 2.
  5. E
    uma elipse de eixos de comprimento 2 e 1.
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Resolução comentada

Seja P=(x,y). A distância de P à reta x=1 é |x-1|, e o quadrado dela é (x-1)^2. O quadrado da distância de P a A=(3,2) é (x-3)^2+(y-2)^2. A condição do enunciado fica:

(x-1)^2+(x-3)^2+(y-2)^2=4
  1. Expandindo os dois primeiros termos: (x^2-2x+1)+(x^2-6x+9)=2x^2-8x+10.
  2. Substituindo: 2x^2-8x+10+(y-2)^2=4, ou seja, 2x^2-8x+(y-2)^2=-6.
  3. Completando o quadrado em x: 2(x^2-4x)=2(x-2)^2-8.
  4. Então 2(x-2)^2-8+(y-2)^2=-6, o que dá 2(x-2)^2+(y-2)^2=2.
  5. Dividindo por 2:
    (x-2)^2+\frac{(y-2)^2}{2}=1

Essa é uma elipse de centro (2,2), com semieixos 1 (na horizontal) e \sqrt{2} (na vertical). Os coeficientes de (x-2)^2 e de (y-2)^2 são diferentes, então não é circunferência, e a soma dos termos (ambos positivos) exclui a hipérbole.

Os eixos medem o dobro dos semieixos: 2\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2} e 2\cdot 1=2.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATrata a curva como circunferência, mas os coeficientes de x^2 e y^2 ficam diferentes (2 e 1), e o centro dado está errado.
  • BTambém supõe circunferência, com centro e raio que não satisfazem a equação obtida.
  • CHipérbole exigiria sinais opostos nos termos quadráticos, mas ambos são positivos.
  • EEixos 2 e 1 não batem com os semieixos 1 e \sqrt{2} encontrados; erra o valor do eixo maior.

Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗