Questão 13 (Matemática) do ITA 2009

Question

Considere o triângulo ABC de lados a = BC, b = AC e c = AB e ângulos internos \alpha = C\widehat{A}B, \beta = A\widehat{B}C e \gamma = B\widehat{C}A. Sabendo-se que a equação x^2 - 2bx\cos\alpha + b^2 - a^2 = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que

A
\alpha = 90^\circ.
B
\beta = 60^\circ.
C
\gamma = 90^\circ.
D
O triângulo é retângulo apenas se \alpha = 45^\circ.
E
O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere o triângulo ABC de lados a = BC, b = AC e c = AB e ângulos internos \alpha = C\widehat{A}B, \beta = A\widehat{B}C e \gamma = B\widehat{C}A. Sabendo-se que a equação x^2 - 2bx\cos\alpha + b^2 - a^2 = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que

A
\alpha = 90^\circ.
B
\beta = 60^\circ.
C
\gamma = 90^\circ.
D
O triângulo é retângulo apenas se \alpha = 45^\circ.
E
O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Se c é raiz dupla, o discriminante é zero e c é a soma das raízes dividida por 2.

Discriminante nulo: \Delta = 4b^2\cos^2\alpha - 4(b^2 - a^2) = 0, logo a^2 = b^2 - b^2\cos^2\alpha = b^2\,\sen^2\alpha.
Como a,b>0 e \sen\alpha>0, temos a = b\,\sen\alpha.
Raiz dupla: c = \dfrac{2b\cos\alpha}{2} = b\cos\alpha.
Verifique se o triângulo é retângulo: a^2 + c^2 = b^2\sen^2\alpha + b^2\cos^2\alpha = b^2.

Pela recíproca do teorema de Pitágoras, o triângulo é retângulo com hipotenusa b, ou seja, o ângulo oposto a b é reto: \beta = 90^\circ.

Conferindo com a lei dos cossenos: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha = b^2 + b^2\cos^2\alpha - 2b^2\cos^2\alpha = b^2\sen^2\alpha, consistente.

Assim, o triângulo é retângulo em B e b é a hipotenusa, sem restrição sobre \alpha.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO ângulo reto é \beta (oposto a b), não \alpha.
B\beta=90^\circ, não 60^\circ.
C\gamma é agudo; o ângulo reto está em B.
DO triângulo é sempre retângulo, qualquer que seja \alpha (agudo); não exige 45^\circ.

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Equação do 2º grau.

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Questão 13 no caderno Matemática do ITA 2009

Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗