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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma circunferência de raio R = 2\text{ cm}, sabe-se que o lado \overline{BC} mede 2\text{ cm} e o ângulo interno A\widehat{B}C mede 30^\circ. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em \text{cm}, igual a

  1. A
    2 - \sqrt{3}.
  2. B
    \dfrac{1}{3}.
  3. C
    \dfrac{\sqrt{2}}{4}.
  4. D
    2\sqrt{3} - 3.
  5. E
    \dfrac{1}{2}.
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Resolução comentada

Use a lei dos senos: \dfrac{a}{\sen A}=2R. Aqui a=BC=2 e R=2, então \sen A=\dfrac{2}{4}=\dfrac12, logo A=30^\circ ou A=150^\circ.

Como B=30^\circ, o caso A=150^\circ daria A+B=180^\circ, impossível. Portanto A=30^\circ e C=120^\circ.

O triângulo é isósceles com A=B=30^\circ, então BC=AC=2.

O lado AB fica oposto a C: AB=2R\,\sen 120^\circ=4\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3.

Cálculo do raio r da circunferência inscrita, com r=\dfrac{\text{Área}}{p}:

  1. Semiperímetro: p=\dfrac{2+2+2\sqrt3}{2}=2+\sqrt3.
  2. Área: \dfrac12\cdot 2\cdot 2\cdot \sen 120^\circ=2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3.
  3. Raio: r=\dfrac{\sqrt3}{2+\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3(2-\sqrt3)}{4-3}=2\sqrt3-3.

Alternativa D.

Pegadinha: A lei dos senos dá \sen A=1/2, e muitos esquecem de descartar A=150^\circ, que é impossível porque B=30^\circ já foi dado.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a fórmula r=\text{Área}/p; esquece o fator \sqrt3 do numerador.
  • BNão resulta do cálculo da área e do semiperímetro; valor sem justificativa.
  • CValor que não decorre de nenhum cálculo correto com os lados 2, 2 e 2\sqrt3.
  • ESupõe um triângulo diferente (por exemplo, retângulo); não corresponde aos lados 2, 2 e 2\sqrt3.

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗