Questão 11 (Matemática) do ITA 2009

Question

Seja A \in M_{2\times 2} (\mathbb{R}) uma matriz simétrica e não nula, cujos elementos são tais que a_{11}, a_{12} e a_{22} formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q \neq 1 e tr\,A = 5a_{11}. Sabendo-se que o sistema AX = X admite solução não nula X \in M_{2\times 1}(\mathbb{R}), pode-se afirmar que a_{11}^2 + q^2 é igual a

A
\frac{101}{25}.
B
\frac{121}{25}.
C
5.
D
\frac{49}{9}.
E
\frac{25}{4}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Seja A \in M_{2\times 2} (\mathbb{R}) uma matriz simétrica e não nula, cujos elementos são tais que a_{11}, a_{12} e a_{22} formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q \neq 1 e tr\,A = 5a_{11}. Sabendo-se que o sistema AX = X admite solução não nula X \in M_{2\times 1}(\mathbb{R}), pode-se afirmar que a_{11}^2 + q^2 é igual a

A
\frac{101}{25}.
B
\frac{121}{25}.
C
5.
D
\frac{49}{9}.
E
\frac{25}{4}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Chame a_{11}=a. Como a, a_{12}, a_{22} formam uma PG de razão q, temos a_{12}=aq e a_{22}=aq^2. A matriz é simétrica, então a_{21}=aq e

A=\begin{pmatrix} a & aq\\ aq & aq^2\end{pmatrix}.

Traço: \text{tr}\,A=a+aq^2=5a. Como A\neq 0, temos a\neq 0 (se a=0, todos os elementos seriam nulos). Logo 1+q^2=5, ou seja, q^2=4.
O sistema AX=X equivale a (A-I)X=0. Ele tem solução não nula quando \det(A-I)=0, isto é, quando 1 é autovalor de A.
Calculando:

\det\begin{pmatrix} a-1 & aq\\ aq & aq^2-1\end{pmatrix}=(a-1)(aq^2-1)-a^2q^2=0.

Desenvolvendo: a^2q^2-a-aq^2+1-a^2q^2=0, que dá 1-a(1+q^2)=0.
Com 1+q^2=5: 1-5a=0, então a=\dfrac15.
Portanto

a_{11}^2+q^2=\frac{1}{25}+4=\frac{101}{25}.

Observe que q=\pm2, ambos diferentes de 1, e o valor de q^2 é o mesmo nos dois casos.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BResultado sem base na condição do determinante; não corresponde a a=1/5 e q^2=4.
CConfunde com 1+q^2=5, o valor do traço dividido por a, e não calcula a^2+q^2.
DValor sem relação com a=1/5 e q^2=4.
EValor sem relação com a=1/5 e q^2=4.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Progressão geométrica.

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Questão 11 no caderno Matemática do ITA 2009

Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗