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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Probabilidade condicional

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Um certo exame de inglês é utilizado para classificar a proficiência de estrangeiros nesta língua. Dos estrangeiros que são proficientes em inglês, 75\% são bem avaliados neste exame. Entre os não proficientes em inglês, 7\% são eventualmente bem avaliados. Considere uma amostra de estrangeiros em que 18\% são proficientes em inglês. Um estrangeiro, escolhido desta amostra ao acaso, realizou o exame sendo classificado como proficiente em inglês. A probabilidade deste estrangeiro ser efetivamente proficiente nesta língua é de aproximadamente

  1. A
    73\%.
  2. B
    70\%.
  3. C
    68\%.
  4. D
    65\%.
  5. E
    64\%.
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Resolução comentada

Esta é uma questão de probabilidade condicional (teorema de Bayes). Queremos a probabilidade de o estrangeiro ser proficiente, sabendo que foi bem avaliado (classificado como proficiente no exame).

Dados:

  • P(\text{prof}) = 0{,}18 e P(\text{não prof}) = 0{,}82;
  • P(\text{bem avaliado} \mid \text{prof}) = 0{,}75;
  • P(\text{bem avaliado} \mid \text{não prof}) = 0{,}07.

Passo a passo:

  1. Proficientes bem avaliados: 0{,}18 \cdot 0{,}75 = 0{,}135.
  2. Não proficientes bem avaliados: 0{,}82 \cdot 0{,}07 = 0{,}0574.
  3. Total de bem avaliados: 0{,}135 + 0{,}0574 = 0{,}1924.
  4. A probabilidade pedida é a fração dos bem avaliados que são de fato proficientes:
P = \frac{0{,}135}{0{,}1924} \approx 0{,}7017

Ou seja, cerca de 70\%.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem justificativa; a conta correta dá cerca de 70,2%, não 73%.
  • CNão corresponde à razão 0,135/0,1924; resultado de erro de cálculo.
  • DNão corresponde ao resultado da fórmula de Bayes, que é cerca de 70%.
  • EValor menor que o correto, sem origem em conta válida.

Assunto: Probabilidade condicional.

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Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗