Correção FUVEST 2027 · 1ª faseAcompanhe a resolução de cada questão da 1ª fase, ao vivoAcompanhar
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Sobre a equação polinomial 2x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 1 = 0, sabemos que os coeficientes a, b, c são reais, duas de suas raízes são inteiras e distintas e 1/2 - i/2 também é sua raiz. Então, o máximo de a, b, c é igual a

  1. A
    -1
  2. B
    1
  3. C
    2
  4. D
    3
  5. E
    4
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Como os coeficientes são reais, se \frac{1}{2}-\frac{i}{2} é raiz, seu conjugado \frac{1}{2}+\frac{i}{2} também é. Esses dois fatores multiplicados dão um trinômio real:

  1. Soma das raízes complexas: 1.
  2. Produto: \frac14+\frac14=\frac12.
  3. Fator: x^2-x+\frac12.

Seja p e q as duas raízes inteiras distintas. O produto das quatro raízes é \frac{-1}{2} (termo independente dividido por 2, com sinal + pois o grau é par). Então:

p\cdot q\cdot\frac12=-\frac12 \Rightarrow pq=-1.

Como p,q são inteiros e distintos, p=1 e q=-1.

O polinômio é:

2(x-1)(x+1)\left(x^2-x+\tfrac12\right)=(2x^2-2)\left(x^2-x+\tfrac12\right).

Desenvolvendo:

2x^4-2x^3+x^2-2x^2+2x-1=2x^4-2x^3-x^2+2x-1.

Logo a=-2, b=-1, c=2.

O máximo entre a,b,c é 2.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ o valor de b, não o maior dos coeficientes.
  • BNão corresponde a nenhum coeficiente; vem de erro no produto das raízes ou nas contas.
  • DNão aparece entre os coeficientes -2, -1 e 2.
  • ENão aparece entre os coeficientes; resulta de esquecer o fator 2 do coeficiente líder ou de erro de conta.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Números complexos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 9 no caderno Matemática do ITA 2008

Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗