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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

É dada a equação polinomial

(a + c + 2) x^3 + (b + 3c + 1) x^2 + (c - a) x + (a + b + 4) = 0

com a, b, c reais. Sabendo-se que esta equação é recíproca de primeira espécie e que 1 é uma raiz, então o produto abc é igual a

  1. A
    -2
  2. B
    4
  3. C
    6
  4. D
    9
  5. E
    12
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Resolução comentada

Uma equação polinomial de grau 3, Ax^3+Bx^2+Cx+D=0, é recíproca de primeira espécie quando os coeficientes equidistantes dos extremos são iguais: A=D e B=C.

Aplicando ao enunciado:

  1. a+c+2=a+b+4 \Rightarrow c=b+2.
  2. b+3c+1=c-a \Rightarrow a+b+2c+1=0.

Substituindo c=b+2 na segunda: a+b+2b+4+1=0 \Rightarrow a+3b=-5.

Agora usamos que 1 é raiz: a soma de todos os coeficientes vale zero.

(a+c+2)+(b+3c+1)+(c-a)+(a+b+4)=0

Somando: a+2b+5c+7=0.

Substituindo c=b+2: a+2b+5b+10+7=0 \Rightarrow a+7b=-17.

Resolvendo o sistema:

\begin{cases}a+3b=-5\\ a+7b=-17\end{cases}

Subtraindo: 4b=-12 \Rightarrow b=-3. Então a=-5+9=4 e c=b+2=-1.

Conferindo: os coeficientes ficam A=4-1+2=5, B=-3-3+1=-5, C=-1-4=-5, D=4-3+4=5. Portanto A=D e B=C, e a soma 5-5-5+5=0, logo 1 é raiz.

Produto: abc=4\cdot(-3)\cdot(-1)=12.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a solução; ocorre ao errar os sinais ao resolver o sistema.
  • BResulta de erro de conta ao resolver o sistema, não corresponde a a=4, b=-3, c=-1.
  • CNão satisfaz as condições; vem de erro de sinal ou de coeficiente na soma dos coeficientes.
  • DNão satisfaz as condições; vem de resolver incorretamente o sistema linear.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Sistemas lineares.

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Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗