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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Progressão aritmética

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Considere o polinômio p(x) = a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 - a_1, em que uma das raízes é x = -1. Sabendo-se que a_1, a_2, a_3, a_4 e a_5 são reais e formam, nesta ordem, uma progressão aritmética com a_4 = 1/2, então p(-2) é igual a

  1. A
    -25
  2. B
    -27
  3. C
    -36
  4. D
    -39
  5. E
    -40
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Seja r a razão da PA (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5). Como a_4 = 1/2, temos a_1 = \frac12 - 3r, a_2 = \frac12 - 2r, a_3 = \frac12 - r e a_5 = \frac12 + r.

Como x=-1 é raiz, p(-1)=0:

-a_5 + a_4 - a_3 + a_2 - a_1 = 0

Substituindo:

-(\tfrac12 + r) + \tfrac12 - (\tfrac12 - r) + (\tfrac12 - 2r) - (\tfrac12 - 3r) = 0

Os termos \tfrac12: -\tfrac12+\tfrac12-\tfrac12+\tfrac12-\tfrac12 = -\tfrac12.

Os termos em r: -r + r - 2r + 3r = r.

Logo r - \tfrac12 = 0, ou seja, r = \tfrac12.

Então: a_1 = -1, a_2 = -\tfrac12, a_3 = 0, a_4 = \tfrac12, a_5 = 1.

O polinômio fica p(x) = x^5 + \tfrac12 x^4 + 0\cdot x^3 - \tfrac12 x^2 + 1.

Calculando em x=-2:

  1. x^5 = -32
  2. \tfrac12 x^4 = \tfrac12\cdot 16 = 8
  3. -\tfrac12 x^2 = -\tfrac12\cdot 4 = -2
  4. termo constante: -a_1 = 1
p(-2) = -32 + 8 - 2 + 1 = -25

Alternativa A.

Pegadinha: O termo independente é -a_1, não a_1: com a_1=-1 ele vale +1, e esquecer esse sinal desvia o resultado.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Berro de sinal ou de conta ao somar os termos, ignorando o termo constante -a_1=+1 ou trocando um sinal.
  • Cresulta de usar valores errados para a razão ou de erro ao calcular as potências de -2.
  • Dprovavelmente troca o sinal do termo constante ou de a_2 ao avaliar p(-2).
  • Eignora a divisão por 2 em a_4 e a_2, ou usa coeficientes incorretos da PA.

Assuntos: Progressão aritmética, Polinômios.

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Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗