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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Progressão geométrica

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Considere o quadrado ABCD com lados de 10\text{ m} de comprimento. Seja M um ponto sobre o lado \overline{AB} e N um ponto sobre o lado \overline{AD}, eqüidistantes de A. Por M traça-se uma reta r paralela ao lado \overline{AD} e por N uma reta s paralela ao lado \overline{AB}, que se interceptam no ponto O. Considere os quadrados AMON e OPCQ, onde P é a intersecção de s com o lado \overline{BC} e Q é a intersecção de r com o lado \overline{DC}. Sabendo-se que as áreas dos quadrados AMON, OPCQ e ABCD constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica, então a distância entre os pontos A e M é igual, em metros, a

  1. A
    15 + 5\sqrt{5}
  2. B
    10 + 5\sqrt{5}
  3. C
    10 - \sqrt{5}
  4. D
    15 - 5\sqrt{5}
  5. E
    10 - 3\sqrt{5}
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Resolução comentada

Seja x = AM. Então AMON é um quadrado de lado x, com área x^2.

Como ABCD tem lado 10, o quadrado OPCQ tem lado 10 - x e área (10-x)^2. O quadrado ABCD tem área 100.

Para que x^2, (10-x)^2 e 100 formem uma PG, o termo do meio ao quadrado é igual ao produto dos extremos:

[(10-x)^2]^2 = x^2\cdot 100

Extraindo a raiz quadrada (com 0<x<10, tudo positivo):

(10-x)^2 = 10x

Desenvolvendo:

  1. 100 - 20x + x^2 = 10x
  2. x^2 - 30x + 100 = 0
  3. \Delta = 900 - 400 = 500, logo \sqrt{\Delta} = 10\sqrt{5}
  4. x = \dfrac{30 \pm 10\sqrt{5}}{2} = 15 \pm 5\sqrt{5}

Como x deve estar entre 0 e 10, descartamos 15 + 5\sqrt{5} \approx 26{,}2. Ficamos com x = 15 - 5\sqrt{5} \approx 3{,}82, que é válido.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A engana por ser a outra raiz da equação do 2º grau; é preciso descartá-la, pois x não pode passar de 10.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ a raiz maior da equação, cerca de 26,2 m, que passa do lado do quadrado (10 m).
  • BValor maior que 10 (cerca de 21,2 m), impossível para um ponto sobre o lado AB.
  • CValor (cerca de 7,76) não satisfaz a equação x^2-30x+100=0.
  • EValor (cerca de 3,29) não satisfaz a equação; resulta de erro de conta na resolução.

Assuntos: Progressão geométrica, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗