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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Geometria espacial de posição

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Um diedro mede 120^\circ. A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume 4\sqrt{3}\,\pi\text{ cm}^3 que tangencia as faces do diedro é, em \text{cm}, igual a

  1. A
    3\sqrt{3}
  2. B
    3\sqrt{2}
  3. C
    2\sqrt{3}
  4. D
    2\sqrt{2}
  5. E
    2
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Resolução comentada

Primeiro, ache o raio da esfera pelo volume:

\frac{4}{3}\pi r^3 = 4\sqrt{3}\,\pi \Rightarrow r^3 = 3\sqrt{3} \Rightarrow r = \sqrt{3}\ \text{cm}

Agora a geometria. Corte o diedro por um plano perpendicular à aresta: aparece um ângulo de 120^\circ e uma circunferência de raio r (seção da esfera pelo plano que contém o centro) tangente aos dois lados. O centro O está sobre a bissetriz desse ângulo, e a distância de O à aresta é a distância d de O ao vértice.

A bissetriz divide o ângulo em dois de 60^\circ. Tomando o ponto de tangência T em um dos lados, o triângulo formado pelo vértice V, por T e por O é retângulo em T, com OT = r (raio perpendicular à face) e ângulo de 60^\circ em V.

\sen 60^\circ = \frac{r}{d} \Rightarrow d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 2\ \text{cm}

Portanto, a distância do centro à aresta é 2 cm.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com r=\sqrt3 e \sen 60^\circ; parece resultado de erro ao calcular o raio ou a razão trigonométrica.
  • BNão decorre de nenhuma relação correta entre r e o ângulo de 60^\circ.
  • CAparece ao usar \cos 30^\circ de forma errada ou d=2r com r incorreto; o correto é d=r/\sen60^\circ.
  • DResultaria de usar 45^\circ ou raio errado, sem relação com a bissetriz de 60^\circ.

Assuntos: Geometria espacial de posição, Esfera.

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Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗