Questão 3 (Matemática) do ITA 2008

Question

Considere o sistema Ax = b, em que

A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & k & 6 \\ -1 & 3 & k - 3 \end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\quad\text{e}\quad k \in \mathbb{R}.

Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo S a soma de todos os valores de k que tornam o sistema possível e indeterminado, então o valor de T - S é

A
-4
B
-3
C
0
D
1
E
4

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Sistemas lineares

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}	i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros	\lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais	\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos	\operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio	\operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\}	I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\}	A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\}	A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\}	\det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\}	A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Considere o sistema Ax = b, em que

A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & k & 6 \\ -1 & 3 & k - 3 \end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\quad\text{e}\quad k \in \mathbb{R}.

Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo S a soma de todos os valores de k que tornam o sistema possível e indeterminado, então o valor de T - S é

A
-4
B
-3
C
0
D
1
E
4

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Um sistema 3×3 tem solução única quando \det A \neq 0. Os valores de k que anulam o determinante são os candidatos a impossível ou indeterminado, e cada um deve ser testado.

Determinante: \det A = 1\,[k(k-3) - 18] - (-2)\,[2(k-3) + 6] + 3\,[6 + k].
Desenvolvendo: k^2 - 3k - 18 + 2(2k) + 18 + 3k = k^2 + 4k, isto é, \det A = k(k+4).
Logo \det A = 0 para k = 0 ou k = -4.

Teste de k = 0: o sistema fica
x - 2y + 3z = 1
2x + 6z = 6
-x + 3y - 3z = 0

Somando a 1ª e a 3ª equações: y = 1. Da 2ª: x = 3 - 3z. Na 1ª: 3 - 3z - 2 + 3z = 1, que vale sempre. Há infinitas soluções, então k=0 é possível e indeterminado.

Teste de k = -4:
x - 2y + 3z = 1
2x - 4y + 6z = 6
-x + 3y - 7z = 0

A 2ª equação é 2(x - 2y + 3z) = 6, ou seja, x - 2y + 3z = 3. Isso contradiz a 1ª (=1). O sistema é impossível.

Assim, T = -4 e S = 0, e T - S = -4.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem inverte as classificações, pois dá 4 com sinal trocado; é preciso testar cada raiz do determinante.

Por que as outras alternativas estão erradas

BResultado sem relação com T=-4 e S=0; vem de erro no cálculo do determinante ou na classificação.
CSupõe T=S, o que ocorreria se não se testasse cada raiz do determinante ou se as classificações fossem trocadas incorretamente.
DNão corresponde às raízes 0 e -4; resulta de determinante calculado errado.
ETroca os papéis: considera k=-4 indeterminado e k=0 impossível, obtendo 0-(-4)=4.

Assuntos: Sistemas lineares, Matrizes e determinantes.

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Questão 3 no caderno Matemática do ITA 2008

Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗