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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Sejam A e C matrizes n \times n inversíveis tais que \det(I + C^{-1}A) = 1/3 e \det A = 5. Sabendo-se que B = 3(A^{-1} + C^{-1})^t, então o determinante de B é igual a

  1. A
    3^n
  2. B
    2 \cdot \dfrac{3^n}{5^2}
  3. C
    \dfrac{1}{5}
  4. D
    \dfrac{3^{n-1}}{5}
  5. E
    5 \cdot 3^{n-1}
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Resolução comentada

A ideia é escrever A^{-1}+C^{-1} de modo que apareça I + C^{-1}A, cujo determinante é conhecido.

  1. Fatorando: A^{-1}+C^{-1} = (I + C^{-1}A)A^{-1}. Conferindo: (I + C^{-1}A)A^{-1} = A^{-1} + C^{-1}AA^{-1} = A^{-1}+C^{-1}. ✓

  2. Pelo teorema de Binet (\det(XY)=\det X\cdot\det Y):

    \det(A^{-1}+C^{-1}) = \det(I+C^{-1}A)\cdot\det(A^{-1}) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5} = \frac{1}{15}.

  3. A transposta não altera o determinante: \det\big((A^{-1}+C^{-1})^t\big)=\dfrac{1}{15}.

  4. Multiplicar uma matriz n\times n por uma constante k multiplica o determinante por k^n, pois cada uma das n linhas fica multiplicada por k. Então:

    \det B = 3^n\cdot\frac{1}{15} = \frac{3^n}{3\cdot 5} = \frac{3^{n-1}}{5}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa só o fator 3^n e esquece de multiplicar por \det(A^{-1}+C^{-1})=1/15.
  • Bnão corresponde a nenhuma conta correta; o fator 5^2 e o 2 não aparecem no cálculo.
  • Cignora o fator 3^n da constante e ainda erra o determinante da soma.
  • Einverte o valor do determinante, usando 5/3 em vez de 1/(3\cdot5).

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗