Correção FUVEST 2027 · 1ª faseAcompanhe a resolução de cada questão da 1ª fase, ao vivoAcompanhar
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Sejam \alpha, \beta \in \mathbb{C} tais que |\alpha| = |\beta| = 1 e |\alpha - \beta| = \sqrt{2}. Então \alpha^2 + \beta^2 é igual a

  1. A
    -2
  2. B
    0
  3. C
    1
  4. D
    2
  5. E
    2i
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Se |\alpha| = |\beta| = 1, os dois números estão na circunferência unitária. Vamos usar a relação |z|^2 = z\bar{z} e expandir o módulo da diferença.

  1. Elevamos ao quadrado a condição |\alpha-\beta|=\sqrt{2}:

    |\alpha-\beta|^2 = |\alpha|^2 + |\beta|^2 - 2\operatorname{Re}(\alpha\bar{\beta}) = 2

  2. Substituindo os módulos: 1 + 1 - 2\operatorname{Re}(\alpha\bar{\beta}) = 2, logo \operatorname{Re}(\alpha\bar{\beta}) = 0.

  3. Isso significa que \alpha\bar{\beta} é imaginário puro. Como |\alpha\bar{\beta}|=1, temos \alpha\bar{\beta} = \pm i.

  4. Como |\beta|=1, \bar{\beta} = 1/\beta. Então \alpha/\beta = \pm i, ou seja, \alpha = \pm i\beta.

  5. Elevando ao quadrado: \alpha^2 = i^2\beta^2 = -\beta^2.

  6. Portanto \alpha^2 + \beta^2 = -\beta^2 + \beta^2 = 0.

Geometricamente: |\alpha-\beta|=\sqrt2 é a corda de um ângulo de 90^\circ na circunferência unitária, então \alpha e \beta são perpendiculares. Elevar ao quadrado dobra os ângulos, e os quadrados ficam opostos, somando zero.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADaria se \alpha=\beta=\pm i, mas isso contraria |\alpha-\beta|=\sqrt2.
  • CNão decorre de nenhuma combinação possível; ignora que \alpha^2=-\beta^2.
  • DValeria se \alpha=\pm\beta com \alpha^2=\beta^2=1, o que daria |\alpha-\beta| igual a 0 ou 2.
  • EConfunde com \alpha\bar\beta=\pm i; a soma dos quadrados é real, não 2i.

Assunto: Números complexos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 2 no caderno Matemática do ITA 2008

Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗