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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Considere o conjunto D = \{n \in \mathbb{N}; 1 \le n \le 365\} e H \subset \mathcal{P}(D) formado por todos os subconjuntos de D com 2 elementos. Escolhendo ao acaso um elemento B \in H, a probabilidade de a soma de seus elementos ser 183 é igual a

  1. A
    \dfrac{1}{730}
  2. B
    \dfrac{46}{33\,215}
  3. C
    \dfrac{1}{365}
  4. D
    \dfrac{92}{33\,215}
  5. E
    \dfrac{91}{730}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Como o espaço amostral é o conjunto H dos subconjuntos de 2 elementos de D, a ordem não importa. O total de casos é

\binom{365}{2}=\frac{365\cdot 364}{2}=365\cdot 182=66\,430.

Agora contamos os subconjuntos \{a,b\} com a<b e a+b=183, ambos entre 1 e 365.

  1. Se a+b=183, então b=183-a.
  2. Para b\le 365 e a\ge 1, basta a\ge 1, pois b já é menor que 183.
  3. Como a<b, temos a<183-a, ou seja, a<91{,}5, logo a\le 91.
  4. Assim a vai de 1 a 91, o que dá 91 pares: \{1,182\},\{2,181\},\dots,\{91,92\}.

Não há par com a=b, pois 183 é ímpar, então nenhum caso é perdido nem repetido.

A probabilidade é

\frac{91}{66\,430}=\frac{91}{365\cdot 182}=\frac{1}{365\cdot 2}=\frac{1}{730}.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem conta pares ordenados (182) no numerador e usa combinação no denominador.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem relação com a contagem correta; não resulta de 91 casos favoráveis sobre 66 430 casos totais.
  • CContaria 182 pares, tratando como se a ordem importasse nos casos favoráveis, mas não no total.
  • DDobra o valor de B; vem de uma contagem de casos favoráveis sem sentido.
  • EDivide 91 por 730, misturando o numerador correto com o resultado já simplificado.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Combinações e binômio de Newton.

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Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗