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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, B\hat{A}C, mede 40^\circ. Sobre o lado \overline{AB}, tome o ponto E tal que A\hat{C}E = 15^\circ. Sobre o lado \overline{AC}, tome o ponto D tal que D\hat{B}C = 35^\circ. Então, o ângulo E\hat{D}B vale

  1. A
    35^\circ
  2. B
    45^\circ
  3. C
    55^\circ
  4. D
    75^\circ
  5. E
    85^\circ
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Resolução comentada

Como AB=AC e B\hat{A}C=40^\circ, os ângulos da base valem A\hat{B}C=A\hat{C}B=70^\circ.

O ângulo E\hat{C}B é 70^\circ-15^\circ=55^\circ. No triângulo BCE, o ângulo em E é 180^\circ-70^\circ-55^\circ=55^\circ. Logo BCE é isósceles com BE=BC.

Tome BC=1, então BE=1.

No triângulo BCD, o ângulo em D é 180^\circ-35^\circ-70^\circ=75^\circ. Pela lei dos senos:

BD=\frac{BC\cdot\sen 70^\circ}{\sen 75^\circ}=\frac{\sen 70^\circ}{\sen 75^\circ}\approx 0{,}973.

Como A\hat{B}C=70^\circ e D\hat{B}C=35^\circ, temos E\hat{B}D=35^\circ.

No triângulo EBD conhecemos BE=1, BD\approx0{,}973 e o ângulo entre eles, 35^\circ. Colocando B na origem e BD sobre o eixo x: D\approx(0{,}973;\,0) e E=(\cos35^\circ,\ \sen35^\circ)\approx(0{,}819;\,0{,}574).

Assim, \vec{DE}\approx(-0{,}154;\,0{,}574) e \vec{DB}=(-0{,}973;\,0). Então:

\cos E\hat{D}B=\frac{0{,}154}{\sqrt{0{,}154^2+0{,}574^2}}\approx\frac{0{,}154}{0{,}594}\approx0{,}259=\cos75^\circ.

Portanto E\hat{D}B=75^\circ.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A35^\circ é o ângulo E\hat{B}D, não o ângulo em D.
  • BNão decorre de nenhum ângulo da figura; o cálculo dá 75^\circ.
  • C55^\circ é o ângulo B\hat{E}C (e E\hat{C}B), do triângulo BCE, não E\hat{D}B.
  • ENão resulta do cálculo; o ângulo em D vale 75^\circ.

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗