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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Equações e inequações trigonométricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

A soma de todas as soluções distintas da equação

\cos 3x + 2\cos 6x + \cos 9x = 0,

que estão no intervalo 0 \le x \le \pi/2, é igual a

  1. A
    2\pi
  2. B
    \frac{23}{12}\pi
  3. C
    \frac{9}{6}\pi
  4. D
    \frac{7}{6}\pi
  5. E
    \frac{13}{12}\pi
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Agrupe \cos 3x + \cos 9x pela soma em produto: \cos 3x+\cos 9x = 2\cos 6x\cos 3x.

A equação fica:

2\cos 6x\cos 3x + 2\cos 6x = 0 \Rightarrow 2\cos 6x\,(\cos 3x + 1)=0.

Então há dois casos.

  1. \cos 6x = 0: 6x = \frac{\pi}{2}+k\pi, ou seja, x = \frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{6}. Em [0,\pi/2] (isto é, x \le 6\pi/12): x=\frac{\pi}{12},\ \frac{3\pi}{12},\ \frac{5\pi}{12}. O próximo seria \frac{7\pi}{12}>\frac{\pi}{2}.

  2. \cos 3x=-1: 3x=\pi+2k\pi, logo x=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}. No intervalo, só x=\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{12}.

Confira se há repetição: \frac{4\pi}{12} não está entre \frac{\pi}{12},\frac{3\pi}{12},\frac{5\pi}{12}, então as quatro soluções são distintas.

Soma:

\frac{\pi}{12}+\frac{3\pi}{12}+\frac{5\pi}{12}+\frac{4\pi}{12}=\frac{13\pi}{12}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor grande demais, incompatível com poucas soluções em [0,\pi/2].
  • BInclui soluções fora do intervalo, como 7\pi/12 ou outras.
  • CSoma 9\pi/6=3\pi/2, excede o total das soluções do intervalo.
  • DEquivale a 14\pi/12, o que sugere somar uma solução a mais ou errada.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗