PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 15 (Matemática) do ITA 2008
Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
| \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} | i : unidade imaginária; i^2 = -1 |
|---|---|
| \mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros | \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C} |
| \mathbb{R} : conjunto dos números reais | \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C} |
| \mathbb{C} : conjunto dos números complexos | \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C} |
| \emptyset : conjunto vazio | \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C} |
| [a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} | I : matriz identidade |
| (a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} | A^{-1} : inversa da matriz inversível A |
| [a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} | A^t : transposta da matriz A |
| (a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} | \det A : determinante da matriz A |
| A - B = \{x \in A; x \notin B\} | A^C : complementar de A |
\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.
Um subconjunto D de \mathbb{R} tal que a função f : D \to \mathbb{R}, definida por f(x) = |\ln (x^2 - x + 1)| é injetora, é dado por
- A\mathbb{R}
- B(-\infty, 1]
- C[0, 1/2]
- D(0, 1)
- E[1/2, \infty)
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Resolução comentada
Seja g(x)=x^2-x+1. Seu discriminante é 1-4=-3<0, então g(x)>0 para todo x e o logaritmo está sempre definido. O vértice está em x=\frac12, com g\left(\frac12\right)=\frac34.
Como g(x)=1 quando x=0 ou x=1, temos:
- Para x\in(0,1), g(x)<1, logo \ln g(x)<0 e f(x)=-\ln g(x).
- Para x\le 0 ou x\ge 1, g(x)\ge 1, logo \ln g(x)\ge 0 e f(x)=\ln g(x).
Para que f seja injetora, D não pode conter dois pontos distintos com o mesmo valor de f. Como g é simétrica em relação a x=\frac12, ou seja g(x)=g(1-x), o mesmo vale para f. Assim, D não pode conter x e 1-x ao mesmo tempo, para x\ne\frac12. Isso elimina as alternativas A, B, C e D, pois cada uma contém pares simétricos, como 0 e 1 (f=0 nos dois), ou 0{,}2 e 0{,}8.
Na alternativa E, D=[1/2,\infty), g é estritamente crescente, com valores de \frac34 em diante. Em \left[\frac12,1\right), f=-\ln g é estritamente decrescente, com valores de \ln\frac43 até 0. Em [1,\infty), f=\ln g é crescente, com valores de 0 em diante.
Porém, os valores se repetem: em [1/2,1), f assume valores em (0,\ln\frac43], e em [1,\infty) também assume esses valores, já que \ln g vai de 0 a \infty. Por exemplo, g(x)=\frac43 em x=\frac12? Não: g(\frac12)=\frac34, e f=\ln\frac43. Já g(x)=\frac43 em x^2-x-\frac13=0, que tem raiz x>1, e f(x)=\ln\frac43. Logo f não é injetora em E.
Revendo C: em [0,\frac12] não há pares simétricos além de x=\frac12 sozinho, pois 1-x\in[\frac12,1]. Em [0,\frac12], g é decrescente de 1 a \frac34, e f=-\ln g é estritamente crescente. Logo f é injetora.
Alternativa C.
Pegadinha: A alternativa E engana porque g é crescente em [1/2,\infty), mas o módulo dobra o trecho em que \ln g<0 e faz os valores se repetirem.
Por que as outras alternativas estão erradas
- Aem \mathbb{R}, f(0)=f(1)=0, então não é injetora.
- Bcontém 0 e 1 e outros pares simétricos, como -1 e 2 (não, só -1 e 0 já repetem valores com pontos de (0,1)), então f repete valores.
- Dcontém 0{,}2 e 0{,}8, que têm o mesmo valor de f.
- Evalores de f em [1/2,1) se repetem em (1,\infty), por exemplo f(1/2)=\ln\frac43=f(x) com x>1.
Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Função modular, Logaritmos e função logarítmica.
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Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗