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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Função exponencial

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Para x \in \mathbb{R}, o conjunto solução de |5^{3x} - 5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x| = |5^x - 1| é

  1. A
    \{0,\ 2 \pm \sqrt{5},\ 2 \pm \sqrt{3}\}
  2. B
    \{0,\ 1,\ \log_5(2 + \sqrt{5})\}
  3. C
    \left\{0,\ \frac{1}{2}\log_5 2,\ \frac{1}{2}\log_5 3,\ \log_5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right\}
  4. D
    \{0,\ \log_5(2 + \sqrt{5}),\ \log_5(2 + \sqrt{3}),\ \log_5(2 - \sqrt{3})\}
  5. E
    A única solução é x = 0
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Resolução comentada

Seja y = 5^x > 0. A equação vira |y^3 - 5y^2 + 4y| = |y - 1|.

Fatorando o lado esquerdo: y^3 - 5y^2 + 4y = y(y-1)(y-4). Então:

|y|\,|y-1|\,|y-4| = |y-1|

Como y>0, temos |y|=y.

  1. Se y = 1, os dois lados são nulos: 5^x = 1, logo x = 0.
  2. Se y \neq 1, dividimos por |y-1| e obtemos y\,|y-4| = 1.

Resolvendo y\,|y-4| = 1:

  • Caso y \ge 4: y(y-4)=1 \Rightarrow y^2 - 4y - 1 = 0 \Rightarrow y = 2 \pm \sqrt{5}. Só 2+\sqrt5 \approx 4{,}24 serve, pois 2-\sqrt5<0.
  • Caso 0<y<4: y(4-y)=1 \Rightarrow y^2 - 4y + 1 = 0 \Rightarrow y = 2 \pm \sqrt{3}. Ambos são positivos e menores que 4 (\approx 3{,}73 e \approx 0{,}27), então servem.

Voltando a x = \log_5 y, as soluções são:

x = 0,\quad \log_5(2+\sqrt5),\quad \log_5(2+\sqrt3),\quad \log_5(2-\sqrt3)

Nenhum desses valores de y é igual a 1, então não há repetição.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A engana quem para em y=5^x e esquece de voltar com o logaritmo; ela ainda inclui 2-\sqrt5, negativo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AApresenta os valores de y=5^x (e inclui 2-\sqrt5<0, impossível) em vez de x=\log_5 y.
  • BInclui x=1, que não satisfaz a equação, e omite as raízes \log_5(2\pm\sqrt3).
  • CValores sem relação com as raízes de y^2-4y\pm1=0; não satisfazem a equação.
  • EEsquece de dividir por |y-1| e resolver y|y-4|=1, que gera mais três soluções.

Assuntos: Função exponencial, Função modular, Logaritmos e função logarítmica.

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Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗